LIVRE III

THÉORÈME

373. Le lieu des points M cl’e'gale puissance par rapport à deux

cercles O et O' est une droite perpendiculaire à la ligne des centres 00'.

En effet, on a MO — r2 = MO' — r '2, r et r étant les rayons des deux cercles. Le lieu cherché est, d’après cela, le lieu des points dont la différence des carrés des distances aux centres 0 et 0' est égale à la diffé- . rence des carrés des rayons. C’est donc (235) une droite perpendiculaire à 00', plus voisine du centre 0’ du plus petit cercle que du centre 0 du plus grand, et dont la distance au milieu de la ligne des centres 00' est égale à la différence des carrés des rayons divisée par le double de la distance des centres.

D’après Gaultier (de Tours), on donne à cette droite le nom d’axe radical des deux cercles.

Tout point commun à deux cercles, ayant une puissance nulle par rapport à chacun d’eux, appartient à leur axe radical. De même, tout point commun à l’axe radical et à l’un des cercles appartient à l’autre cercle, puisque sa puissance doit être nulle par rapport au second cercle comme elle l’est par rapport au premier. Donc : l'axe radical de deux cercles qui se coupent est la sécante commune ; l’axe radical de deux cercles qui se touchent est la tangente commune ; l'axe radical de deux cercles qui n’ont aucun point commun est extérieur à chacun d'eux.

374. En vertu de ce qui a été dit à la fin du n° 372, le lieu des points d'où l'on peut mener à deux cercles des tangentes e'gales est l'axe radical des deux cercles si les cercles ne se coupent pas ; s’ils se coupent, le lieu n’est que la partie de l’axe radical qui est extérieure aux deux cercles, et alors, la partie intérieure est le lieu des points tels, que les cordes minimum, relatives à ces points, soient égales dans les deux cercles.

373. Si Ton désigne par S l’un quelconque des centres de similitude de deux cercles 0 et 0', et par L, P et P' les points ou la ligne des centres 00' rencontre respectivement leur axe radical et les polaires de S par rapport aux deux cercles, on a, en vertu du théorème du n° 373, de la théorie de la polaire (341) et de celle des centres de similitude (362),