FAISCEAUX DE CERCLES

382. Ou dit que plusieurs cercles A, B, G, ... forment un faisceau lorsqu’ils ont leurs centres sur une môme droite L et que les points a et a', b et b' , c et c', ... suivant lesquels ils coupent cette droite forment une involution.

La base L, le point central O et la puissance K de l’involution reçoivent les noms de base, point central et puissance du faisceau.

Le faisceau est dit du premier ou du second genre suivant que l’in- ; volution correspondante a des points doubles ou en est dépourvue, c'est-à-dire suivant que K est positif ou négatif.

i° Il résulte de la théorie de l' involution qu 'un faisceau cle cercles est déterminé par deux quelconques d’entre eux , et que tous les cercles d’un faisceau , pris deux à deux, ont le meme axe radical. La réciproque de cette dernière proposition est vraie : si, plusieurs cercles A, B, C, . . ., pris deux à deux, ont un même axe radical B, ils forment un faisceau dont la base L est perpendiculaire ci B ; car les centres sont évidemment distribués sur une môme perpendiculaire L à l’axe radical R, et le point O commun à R et à L ayant même puissance par rapport à chacun des cercles, on a, en désignant par a et a ', b et //, c et c', ... les points où ces cercles coupent la droite L,

Oa.Océ = Ob .0 b' — Oc. Oc' = . . ..

i° Les points doubles e et / de F involution relative à un faisceau de cercles du premier genre prennent le nom de points limites du faisceau; voici pourquoi : puisque e et f divisent harmoniquement chacun des diamètres aa' , bb\ cc ... les milieux de ces diamètres, c’est-à-dire les centres des cercles A, B, C, ... sont tous en dehors du segment ef; les deux parties indéfinies de la base L qui sont l’une à gauche de e, l’autre à droite de /, sont les seules régions dans lesquelles puisse se trouver le centre d’un cercle quelconque du faisceau; d’ailleurs, tout point w de ces régions est effectivement le centre d’un cercle du faisceau ; c’est le cercle 12 qui a pour rayon la tangente a>t menée par w au cercle décrit sur cf comme diamètre. Le rayon Ot du cercle ef , étant en effet perpendiculaire à tôt, est tangent au cercle 12 et, si a et a' sont les points où ce cercle coupe L, on a

Oa.Oa' = 0/ = Oe ,

ce qui prouve que le cercle 12 fait partie du faisceau. Le rayon du cercle 12 diminue à mesure que son centre w se rapproche do l’un des points e et /, et par suite ces points limites peuvent être considérés comme deux cercles évanouissants faisant partie du faisceau.

GÉOMÉTRIE PLAISE

Dans un faisceau du second genre, tous les cercles passent par les deux points P et P' (381) de Taxe radical R; on a donné à ces points le nom do points fondamentaux . Ici, tout point ta de la base peut être le centre d’un cercle du faisceau; c’est le cercle ü décrit de oj comme centre avec wP pour rayon.

3° On dit cpie deux faisceaux de cercles sont conjugués lorsque, le point central étant le même, les bases sont rectangulaires et les puissances égales et de signes contraires.

11 est clair qd alors les points fondamentaux de l’un des faisceaux coïncident avec les points limites de Vautre et que, réciproquement, si cette coïncidence a lieu, les deux faisceaux sont conjugués.

4° On peut donner à l’expression de la puissance d’un point P par rapport à un cercle (À) une forme élégante et souvent commode, en faisant intervenir un cercle auxiliaire (G) astreint seulement à passer par le point P (fig. 2893).

En désignant par I le milieu do la ligne des centres AG, et par p la projection du point P sur cette ligne, on a (234)

PA" — PG2 = aAG.l p.

Fig. 289^

Mais, si r est le rayon du cercle (A) et to le pied de l’axe radical L des deux cercles (A) et (C), on a (373)

c2 — PC 2 = 2 AC.Ia>.

Pm retranchant cette relation de la précédente, on obtient l’égalité

PÂ2— r2= 2 AC. w/?,

qui montre que la puissance d’un point P par rapport à un cercle (A) est égale au double de la distance du centre (A) au centre (C) cl’un cercle quelconque passant par P, multipliée par la distance du point P à l cixe radical des deux cercles .