LIVRE III
LES FIGURES SEMBLABLES
genre étant donnée par deux couples («, a '), (b, b') de points conjugués, c’est-à-dire par deux segments aa! et b b’ empiétant l’un sur 1 autre, les circonférences décrites sur aa! et b b' comme diamètres donneront le point P, par suite le point central O, projection de P sur la base L, et il suffira de faire pivoter un angle droit autour du sommet P pour avoir sur la base L tous les couples de points conjugués.
Fig. 239i.
3° Pour1 que trois couples ( a , c/), (/;, b'), (c, c' ) de points en ligne droite forment une involution , il faut et il suffit que quatre de ces points (n’appartenant pas aux deux mêmes couples) aient leur rapport anharmonique égal à celui de leurs conjugués.
La condition est nécessaire ; car, si, dans le rapport anharmonique des quatre points b , c, c', on remplace le segment ca par sa valeur
ca
O a — Oc =
O a! Oc'
Ofl'.üc'
et chacun des autres segments par la valeur analogue, on obtient le rapport anharmonique des points a //, c', c respectivement conjugués des premiers.
La condition est suffisante; car, si elle est remplie, le rapport anharmonique ( abcc ') est égal à {a' b' c' c). Mais, si l’on désigne par a le conjugué de ci dans l’involution déterminée par les deux couples ( b , //), (c, c'), le rapport anharmonique {abcc') doit, en vertu de la proposition directe, être aussi égal à ( a' b' c' c ), ce qui prouve que les points a et a divisent ce dans le même rapport et par suite coïncident.
4° Toute transversale L menée clans le plan d’un quadrilatère ABCI> rencontre les quatre côtés et les deux diagonales en six points a , a\ b. //, c, c’ formant une involution {fi g. 2392).
Car les faisceaux (AB, AC, AD, Ac'), (CB. CA, Cl), Ce') ont le même rapport anharmonique, puisqu’ils coupent la diagonale BD aux mêmes
GÉOMÉTRIE PLANE
points. Donc les rapports anharmoniques des deux systèmes de quatre points c , b, c' et b', g, a', c' suivant lesquels la transversale L coupe ces deux faisceaux sont égaux; mais, au rapport (b', c, a! , c'), on peut substituer (a'c'b'c), et l’on voit ainsi que le rapport anharmonique des points a, c, b , cr est égal au rapport anharmonique de leurs conjugués a', c\ b\ c, d’où l’on conclut que (<7, <7'), {b, b'), (c, c') forment une involution.
5° Quand un quadrilatère est inscrit dans un cercle , toute transversale L située dans son plan rencontre les deux couples clc côtés opposés et le cercle en six points <7, <7', b, //, c. c ', formant une involution {fi g. 2392).
Fig. 2 3c)2.
En effet, les faisceaux (AB, AD, Ae, A/), (CB, CD, Ce, Cf) ont les mêmes angles, puisque leurs sommets A et C sont sur la circonférence et que leurs rayons se coupent deux à deux sur cette même ligne; ils ont donc même rapport anharmonique et, par suite, si on les coupe par la transversale L, les deux systèmes de quatre points <7, b, e, f et b’, a\ e, f que l’on obtient ont même rapport anharmonique; donc, en échangeant, dans le dernier groupe, b1 et a', e et f on voit que le rapport anharmonique des points <7, b, e, /est égal à celui de leurs conjugués a, b ', /, e ; par suite, les couples ( a , a '), {b. b’), (<?,/) forment une involution. — Ce théorème est dû à Desargues.
Tels sont les premiers principes de cette belle théorie de l’involution, dont on trouvera l’entier développement dans notre seconde Partie.
