LIVRE III

exemple, ce procédé permettra do démontrer fort aisément la proposition suivante :

Lorsqu’un cercle variable touche toujours de la meme manière deux cercles donnés, il coupe sous un angle constant tout cercle du faisceau déterminé par les deux cercles fixes.

Quand, dans une question, on a à considérer plusieurs cercles, il y a parfois avantage à choisir le centre d’inversion de façon que les transformés de deux de ces cercles soient égaux entre eux. La chose est possible d’une infinité de manières. En effet, soient R et Ri les rayons des deux cercles considérés (A) et (B) et p le rayon de leurs inverses supposés égaux. On a (391), en désignant par la constante d’inversion et par p et p{ les puissances du centre d’inversion par rapport à (A) et à (B),

B P ’ Ri pt

et, par suite,

Pi Ri

Le centre d’inversion doit donc appartenir au lieu des points dont les puissances par rapport aux cercles (A) et (B) sont proportionnelles aux rayons R et IQ ; et nous savons (382) que ce lieu est un cercle du faisceau déterminé par (A) et (B). On voit même par là que l’on peut, en général, trouver un centre d’ inversion tel, que trois cercles donnés se transforment en trois cercles égaux.

398. Les exemples que nous venons de traiter se rapportent à des propriétés descriptives ou à des propriétés métriques angulaires. La méthode se prête également à la transformation des propriétés métriques de segments. On emploie à cet effet la formule du n° 386, dans laquelle on peut d’ailleurs faire \x = i. Il suffit, d’après cela, pour transformer une relation entre diverses distances AB, BC,. . . , de la figure primitive,

AB

de remplacer chaque distance telle que AB par ' „ ? S étant le point

pris pour origine. Voici un exemple :

Étant donnée sur une droite une série de points se succédant dans l’ordre A, B, C,. . . , II, K, on a évidemment

AK = AB -+- BC -h . . . 4- HK.

La figure inverse offre une série de points se succédant dans l’ordre S, A, B, C. . . ., II, K, sur un cercle passant par l’origine S, et l’on a entre les distances de ces points la relation

280 GÉOMÉTRIE PLANE

Si les points ne sont qu’au nombre de trois, A, B, C, on a