AC. SB = AB.SC + BC.SA

et l’on retombe sur le théorème de Ptoléméc (2i0) relatif au produit des diagonales du quadrilatère inscrit.

La méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques, proposée par M. Stubbs ( P h ilosoph ical Magazine, 1 8 4 3 ) , appliquée ensuite par M. William Thomson sous le nom de principe des images, a été l’objet d’un Mémoire de M. Liouville, qui en a donné une théorie analytique complète ( Journal de Mathématiques, ire série, t. XII). Depuis lors, la méthode a reçu un très grand nombre d’applications ; nous en trouverons dans le paragraphe suivant des exemples variés, mais nous devons signaler ici l’une des plus élégantes, duc à M. Casey, et qui concerne la recherche de la condition pour que quatre cercles soient tangents à un cinquième.

399. A et B étant deux cercles quelconques, convenons de désigner par (AB) la longueur de leur tangente commune. Ce sera, suivant les circonstances, la tangente extérieure ou la tangente intérieure ; mais, dans tous les cas, il faudra attribuer à cette locution le sens indiqué au n° 39o. Ceci entendu, le théorème de M. Casey s’énonce de cotte manière :

Lorsque quatre cercles A, B, C, D, sont tangents à un cinquième cercle E, les longueurs de leurs tangentes communes satisfont à la relation

(AB) (CD) rh (AC ) (BD) ± (AD) (BC) = o.

Pour démontrer cette proposition, supposons, par exemple, que, des quatre cercles A, B, C, D, touchés par le cercle E, le premier A soit contenu dans E, et que les trois autres soient extérieurs à ce cercle. Convenons, en outre, de compléter la notation (AB)', en affectant la parenthèse de l’indice 0 ou 1, suivant qu’on voudra désigner la tangente commune extérieure ou intérieure. Ainsi, (AB)0 sera la tangente commune extérieure aux cercles A et B, et(AB)i sera la tangente commune intérieure.

Construisons la figure inverse du système, en prenant pour origine S un point quelconque du cercle E (J/g. 246)- Le cercle E deviendra une droite £ qui Louchera les cercles a, (3, y, 0, inverses des cercles A, B, C, D, et qui laissera d’un côté le cercle a, et, de l’autre, les cercles (3, Y, o- Or, en désignant par a, [3, y, ô, les points de contact de la droite s avec ces mêmes cercles, on a, entre les segments compris

LES FIGURES SEMBLABLES

entre ces quatre points, la relation suivante, facile à vérifier :

ap.yo — ay . po — ao. py = o.

En la divisant par le produit p p' p" des rayons des quatre cercles a, j3, y, 0, et en adoptant la notation indiquée précédemment, on en déduit

(a3)t (y 0)0 (ay), (|3o)0 (a8)i (t3y)0