LIVRE III

LES FIGURES SEMBLABLES

et 263. Tous les autres cas se déduisent sans peine de la solution générale, à l’aide des résultats indiqués dans le numéro précédent. Nous nous bornerons aux indications suivantes.

DCC. — 11 y a 6 centres de similitude, par suite, 4 axes de similitude et 8 solutions.

DDC. — Il v a encore 4 axes de similitude et 8 solutions.

PCC. — Il n’y a que 2 axes do similitude et, par suite, 4 solutions.

PDC. — Il n’y a que 2 axes do similitude et 4 solutions.

PPC. — Il n’y a que 1 axe de similitude et, par suite, 2 solutions.

402. Il importe de signaler encore, à propos du problème d’Apollonius, quelques relations remarquables qui résultent immédiatement du théorème de M. Casey (399).

i°En supposant que le cercle D se réduise à son point do contact, et en désignant par /, /', /", les longueurs des tangentes menées de ce point aux trois cercles A, B, C, on voit que, si un cercle E touche trois cercles donnés, A, B, C, les tangentes mene'es d’un point quelconque de ce cercle aux trois cercles donnes satisfont à la relation

/"(AB) ± /'(AC) ± /( BC) = o.

20 Enfin, si l’on se reporte à la figure formée par un triangle quelconque, le cercle inscrit D et les trois cercles exinscrits A, B, C, et si l’on applique le théorème de M. Casey à ces quatre cercles considérés successivement comme tangents aux trois côtés du triangle, on obtient les trois relations

- ( AB \ ( CD )0 ■ + ( AC )t ( BD )0 — ( AD )t ( BC )0 = o, (AB)i(CD)0-h(AC)o(BD)1 — (AD)0(BC)i= o, -(AB)o(CD)i-(AC)i(BD)o+(AD)0(BC)i = o,

qui, ajoutées membre à membre, donnent

(AB)o(CD), — (AC)o(BD)1-h(AD)i(BC)0= o.

Le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits à un triangle quelconque sont donc tangents à un cinquième cercle, qui laisse le cercle inscrit d’un coté et les trois cercles exinscrits de l’autre côte'.

[Ce théorème est dû à Feuerbach : nous le retrouverons plus loin

Le même procédé conduit d’ailleurs

M. Ilart :

à ce théorème plus général dû à

Les cercles tangents à trois cercles donnés sont, quatre à quatre, tangents à un cinquième cercle.