LIVRE III

LES FIGURES SE3IRL ARLES

ABC. Les droites O a et A p sont donc égales et, comme elles sont parallèles, pa est égale et parallèle à OA. Par suite, pa n’est donc autre

Fig- 247r

chose que pM prolongée d’une quantité M a égale à pM, et le cercle (M) passe par a. On verrait de même qu’il passe par b et c.

3° Enfin, puisque pa est un diamètre du cercle (M) et que l’angle p a a est droit, le cercle (M) passe par a. On [verrait de même qu’il passe par p et y.

Cette propriété, qui a fait donner au cercle (M) le nom de cercle des neuf points, est due à Euler.

On peut aisément trouver les tangentes aux neuf points.

La tangente «E au point a est perpendiculaire au rayon Mc ou à sa parallèle OA : elle est donc parallèle à la tangente AT au cercle circonscrit; mais cette tangente est antiparallèle à BC par rapport à l’angle BAC, puisque les angles TAB, ACB, ont la même mesure. Par conséquent, la tangente a Y cm cercle des neuf points au point et est antiparallèle à BC par rapport à l'angle BAC.

Au point p , la tangente est parallèle cà aY et, au point a, la tangente fait avec la direction CB un angle EaB égal à l’angle EaC que la tangente en a forme avec la direction BC. On connaît ainsi les droites qui touchent le cercle (M) aux neuf points «, b , c, p, cp r, a, [3, y.

Parmi les nombreuses propriétés dont jouit le cercle (M), il importe de remarquer la suivante, due à Feuerbach :

Le cercle des neuf points est tangent au cercle inscrit et à chacun des cercles exinscrits au triangle ABC {fig. 2.475).

En effet, soient I le centre du cercle inscrit et Y le centre de l’un des cercles exinscrits, par exemple de celui qui est compris dans l’angle CAB.

GÉOMÉTRIE PLANE

Le côté BC est une tangente commune intérieure aux deux cercles I et F, et son milieu a est aussi le milieu de l’intervalle FF' compris entre

Fitb sus¬

ses deux points de contact ; car, en désignant par a, ù, c , les côtés du triangle ABC et par/? son demi-périmètre, on a (161)

BF — p — ô, B F' = p — c

et, par suite,

l- (BF + BF') = ±(zp — b — c) = ^ = Ba.

La seconde tangente commune intérieure KK' passe parle point A' où la première rencontre la bissectrice AIL de l’angle BAC ; elle est d’ailleurs symétrique deBC par rapport à cette bissectrice, c’est-à-dire antiparallèle à BC par rapport à l’angle BAC.

Remarquons enfin que les quatre points ï, I', A, A', étant harmoniques, leurs projections sur BC forment aussi un système harmonique FF'aA', de sorte qu’on a

(i) a¥ = aV — a a. a A'.

Ceci posé, formons la figure inverse des cercles I, I', et du cercle des neuf points, en prenant pour origine le point a et pour constante d’in-

version la quantité a F . Cette quantité étant égale à la puissance du point a par rapport à l’un ou l’autre des cercles I et F, chacun de ces cercles coïncidera avec son inverse. Quant au cercle des neuf points, puisqu’il passe par l’origine a, il aura pour inverse une droite. Cette droite passera par A', puisqu’on vertu do l’égalité (i) le point A' est l’inverse de a; elle devra en outre faire avec la direction BC un angle égal à celui que la tangente en a au cercle des neuf points fait avec cette même direction. En d’autres termes, la droite inverse du cercle des neuf points sera la droite menée par A', antiparallèlement à BC par