OE < OD

Corollaires.

43. La perpendiculaire 01 abaissée d’un point 0 sur une droite AB est la ligne droite la plus courte que l’on puisse mener de ce point à la droite : sa longueur est ce qu’on appelle la distance du point 0 à la droite AB.

44. La perpendiculaire 01 étant plus courte que toute oblique OC, il suit du n° 34 que l’angle OCI est moindre que l’angle droit OIC. Donc, lorsque deux droites AB et OC se coupent, la perpendiculaire 01, abaissée d’un point de V une sur l’autre , est située dans V intérieur de l’angle aigu OCB formé par ces deux droites.

On peut conclure de là que, dans tout triangle rectangle, les deux angles autres que l’angle droit sont aigus.

Scolies.

45. L’exactitude des réciproques des propositions qui précèdent, résulte immédiatement du principe général énoncé au n° 7.

i° Si une droite est la plus courte qu’on puisse mener d’un point à une autre droite , ces deux droites sont perpendiculaires entre elles.

26 GÉOMÉTRIE PLANE

2° Si deux obliques à mie même droite partent d un même point et sont égales entre elles , elles s écartent egalement du pied de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite.

3° Si deux obliques à une même droite partent d un même point et sont inégales, la plus grande s éloigne le plus du pied de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite .

46. D’un même point on ne peut mener à une droite que deux obliques égales, et ces obliques sont situées de part et d’autre de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite.

47. Tout point M de la perpendiculaire CD élevée sur le milieu d'une droite AB est également distant des extrémités A et B de cette droite (i fig . 36).

En effet, C étant le milieu de AB, on a CA = CB; donc MA et MB sont des obliques qui s’écartent également du pied de la perpendiculaire CD. On a donc MA = MB.

48. Réciproquement, tout point M équidistant des extrémités A B d’une droite AB appartient à la perpendiculaire CD menée à cette droite par son milieu C.

En effet, le triangle MÀB étant isocèle par hypothèse, la droite MC, qui joint le sommet au milieu C de la base, est perpendiculaire sur cette base.

Corollaires.

49. Il résulte de ce qui précède que tous les points de la perpendiculaire menée à une droite par son milieu sont équidistants des extrémités de cette droite, et que les points de cette perpendiculaire sont les seuls points du plan qui jouissent de cette propriété.