PROBLÈME DE MALFATTI

407. Étant donne' un triangle ABC, décrire trois cercles ( a ), (b), (c), inscrits respectivement dans les angles A, B , C , et tels c/ue chacun cl'eux touche les deux cuit res.

Trois cercles ( a ), (à), (c), considérés deux à deux, donnent lieu à trois couples ayant chacun quatre tangentes communes. Nous dirons que deux tangentes communes sont associées, lorsqu’elles seront relatives à un même couple de cercles et qu’elles seront en outre do même espèce, c’est-à-dire toutes deux extérieures ou toutes deux intérieures.

Cela posé, nous établirons d’abord, pour plus de clarté, deux lemmes préliminaires.

i° Si deux tangentes extérieures du, dq, relatives à deux couples différents (b) et (c), (b) et ( a ), et une tangente commune intérieure dh , relative au troisième couple ( a ) et (c), concourent en un même point cl, les tangentes a y, y 7? Prli ciu^ ^eur sont respectivement associées, concourent aussi en un même point c/ {fig. 248).

En effet, par le point y, intersection de a y et de y y, imaginons qu’011 mène la seconde tangente qp au cercle (c); il suffit de montrer que cette droite qp touche le cercle (a). Or, les quadrilatères duq y, dhq a, étant circonscrits, le premier au cercle ( b ), le second au cercle (c),

on a

du H- dq = <7 y -f- y a, d a qh = dh -+- q a,

d'où, par soustraction,

GÉOMÉTRIE PLANE

dq -+- clh = q y -+- qh •

Le quadrilatère dqqh est donc circonscriptible à un cercle; et, comme trois de ses côtés touchent déjà le cercle ( a ), le quatrième côté qh doit toucher ce même cercle.

20 Si deux cercles (O) et (O') déterminent sur une sécante AB' deux cordes égales AB, AB', ces cercles seront vus sous des angles égaux du point de concours M des tangentes MA, MB', menées aux extrémités de la sécante (fig. 248!).

En effet, soient F, P, F', les projections des points 0, M, 0', sur la sécante AB'. Les triangles AMP, AOF, étant semblables, ainsi que les triangles MPB' et B'O'F', on a