LIVRE III

3oi

On voit, ainsi que les cycles qui touchent deux semi-droites opposées sont les divers points de la droite qu’elles déterminent.

Il résulte aussi de ce qui précède qu’un cycle assujetti à toucher trois semi-droites données est entièrement déterminé. Son centre est le point de rencontre des trois bissectrices des semi-droites prises deux à deux.

MÉTUCDE DE TRANSFORMATION.

•409. Considérons une droite fixe O ; traçons dans le plan un cycle quelconque K ayant pour centre le point O et, sur la perpendiculaire abaissée du point O sur la droite Q, prenons un point arbitraire P (fîg. 2492)- Cela posé, à chaque semi-droite NM du plan, on peut faire correspondre une autre semi-droite de la façon suivante. Menons au cycle R la tangente AB parallèle à NM, joignons le point de contact A au point P, et, au

FiC- 2492-

point A' où la droite ainsi obtenue rencontre le cycle, menons la tangente A' B'; menons enfin, par le point M où la semi-droite donnée coupe la droite fixe Q, une semi-droite N'M parallèle à A'B'.

N'M correspond ainsi à NM, et il est clair, en examinant les constructions effectuées, que NM correspond réciproquement à N'M; 011 dit que ces deux semi-droites sont réciproques.

11 résulte évidemment de ce qui précède que :

i° Deux S( mi-droites réciproques se coupent sur In droite £1 que Von appelle V axe de transformation ;

2° Des semi-droites parallèles ont pour réciproques des semi-droites parallèles.

Si, du point P, on mène des tangentes au cycle K, on voit que les semi-droites parallèles à ces tangentes sont leurs réciproques à ellesmêmes. Il y a donc deux séries de semi-droites parallèles qui se transforment en elles-mêmes; ces semi-droites font des angles égaux avec l’axe de transformation. Il est toutefois à remarquer que ces semi-droites ne sont réelles que si le point P est extérieur au cycle K.

GÉOMÉTRIE PLAINE

THÉORÈME

410. Deux couples quelconques de semi-droites réciproques sont tangents à un même cycle.

Soient, en effet, £1 Taxe de transformation, NM et MN' deux semidroites réciproques, RS une semi-droite quelconque du plan ( f/g. 2493).

Construisons le cycle K qui touche les semi-droites NM, MN' et RS; menons la droite NN' qui joint les points de contact de NM et de MN', et désignons par P le point où cette droite coupe la perpendiculaire abaissée

du point O sur Taxe £2. Il est clair, d’après ce qui précède, que la transformation, qui a pour axe £2 et dans laquelle NM correspond à MN', peut être définie au moyen du cycle K et du point P. Si, maintenant, on remarque que P est le pôle de la droite O relativement au cycle K, on voit que la tangente S' R est la réciproque de RS; les deux couples de semidroites réciproques NM et MN', RS et S'R sont deux tangentes au cycle K, ce qui démontre la proposition énoncée.

La transformation par semi-droites réciproques est ainsi caractérisée par les deux propriétés suivantes :

Deux semi-droites réciproques se coupent sur l ’axe de transformation ; deux couples de semi-droites réciproques sont tangents à un meme cycle C1).

Il est clair que la transformation est entièrement définie quand on se donne l’axe de transformation et deux semi-droites réciproques D et D'. Pour obtenir la réciproque d’une semi-droite quelconque A, que l’on construise le cycle tangent à D, D' et A, et que, par le point M où A coupe l’axe de transformation, on mène la deuxième tangente au cycle, cette tangente sera la semi-droite cherchée. (*)

(*) La transformation par rayons vecteurs réciproques est également caractérisée par les deux propriétés suivantes :

Deux points réciproques sont situés sur une droite passant par le pôle de transformation ;

Deux couples de points réciproques sont situés sur un meme cercle .

ï.IVRE III.

LES FIGURES SEMBLABLES

Considérons une courbe K comme l’enveloppe d’une semi-droite mobile A, la réciproque A' de A enveloppera une courbe K' qu’on appelle la transformée de la courbe K.

THÉORÈME

411. Quand on effectue une transformation par scmi-clroites réciproques, un cycle a pour transformé un autre cycle.

Soit Cl l’axe de transformation, et considérons un cycle quelconque K coupant l’axe aux points A et B. Menons à ce cycle des tangentes MN et

Fig. 249,.

N' M' parallèles à la direction des semi-droites qui, dans la transformation, sont leurs réciproques à elles-mêmes, et désignons par P le point de rencontre de ces droites {figé 2494).

Cela posé, construisons le second cycle K' qui, passant par les points A et B, touche les semi-droites PM et M'P; je dis que le cycle K' est le transformé de K.

On voit en effet que la transformation est définie par l’axe £i, le cycle K et le point P.

Par le point P, menons une sécante quelconque coupant le cycle K' au point a et lô cycle K aux points (3 et 7. On sait que les tangentes menées en a et 7 se coupent en un point T do l’axe radical Cl des deux cycles ; d’ailleurs, la tangente (3^ au point (3 est parallèle à aT; il résulte donc de la définition donnée plus haut que a T et T 7 sont deux demi-droites réciproques. L’enveloppe des réciproques des semi-droites qui enveloppent K est donc le cercle K'; ce qu’il fallait démontrer.

On voit ainsi qu’un cycle K a pour réciproque un cycle KL La relation qui existe entre deux cycles réciproques est caractérisée par les deux propriétés suivantes :

i° Leur axe radical est l’axe de transformation ,

GÉOMÉTRIE PLANE

i° Leurs tangentes communes sont parallèles à deux directions fixes , à savoir aux directions des semi-droites qui se transforment en ellesmêmes.

Désignons respectivement par R et R' les rayons des deux cycles ( ces quantités étant données en grandeur et en signe) et par D et D' les distances de leurs centres à l’axe ( 1 ).

La première propriété donne la relation suivante :

D2 — D'2 = R2 — R'2, et la deuxième, la relation (i) D — D'=a(R — R'),

où a désigne une constante caractérisant la transformation ; d’où encore, en combinant ces deux relations,

On en déduit

, 2 a D — R(lH-a2)

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Le cycle K' est ainsi complètement déterminé, quand le cycle K est donné, puisque l’on connaît la distance de son centre à l’axe et son rayon.

Le cycle K' se réduit à un point, si R'= o, ce qui exige que l’on ait

11 en résulte qu’w/? cycle étant donné , ainsi que Vaxe de transformation , on peut toujours déterminer le modules delà transformation, clc façon que ce cycle ait pour transformé un point, dans le cas où ce cycle ne coupe pas l’axe. En désignant, en effet, par R son rayon et par D la distance de son centre à l’axe, on voit que, D2 — R2 étant positif, l’équation précédente détermine pour le module a deux valeurs réelles. (*)

(*) On doit ici considérer l’axe de transformation comme une semi-droite, en lui donnant un sens arbitraire, de sorte que D et D' sont aussi déterminés en grandeur et en signe.