LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 3o

Soit K le cycle donné; de son centre O abaissons une perpendiculaire OP sur l’axe de transformation et de son pied P comme centre décrivons le cercle qui coupe orthogonalement le cycle donné. Ce cercle coupe la droite OP en deux points A et B; on prouvera aisément qu’il existe une transformation telle que les tangentes au cycle K aient pour réciproques

Fig- 2496-

les semi-droites qui se croisent au point A. Il existe également une autre transformation dans laquelle le point B est le réciproque du cycle K {fg. 2495)-

Une transformation étant définie par l’axe de transformation il et par le module a, il existe une infinité de cycles qui ont pour transformés des points; ils sont définis par la relation

R ix

Leur propriété caractéristique est que leur rayon varie proportionnellement a la distance de leur centre à l’axe ; elle présente une grande importance dans l’application de la transformation par semi-droites réciproques à la théorie des anticaustiques par réfraction.

412. La distance tangentielle de deux cycles est égale à la distance tangenticlle des deux cycles correspondants.

Considérons, en effet, deux cycles; désignons respectivement par R etr leurs rayons, par D et d les distances de leur centre à l’axe de transformation, par p la projection sur cet axe de la droite qui joint leurs centres, et par T leur distance tangentielle; on aura évidemment

Soient de môme R' et r les rayons des cycles transformas ; D' et d' les distances de leurs centres à l’axe, et T' leur distance tangentielle. Si l’on remarque que deux cycles réciproques ont leurs centres sur une môme R. et de C. — Tr. de Géom. ( Ir* Partie). 20

GÉOMÉTRIE PLANE

perpendiculaire à l’axe, il est clair cpie l’on a

T'2==p2 + (D'— cl'Y- (R'— r'y- .

Or les formules énoncées plus haut donnent aisément D, d,= ( T) — d) ( a2 + i) — aa(R — r)

Substituant ces valeurs dans l’expression précédente, il viendra, toutes réductions faites,

ce qui démontre la proposition énoncée (1).