LIVRE IV

i° La proposition du nJ 239 donne

bc — 2R//, d’où abc = îRff/i = 4R.S,

ît, par suite,

abc

Ainsi, l’aire d’an triangle est égale au produit des trois côtés divisé var quatre fois le rayon du cercle circonscrit.

2° En joignant aux trois sommets A, B, C, le centre O du cercle inscrit, an voit [fig. 253) que

ABC = OBC h- OCA h- OAB.

Et, comme les triangles indiqués dans le second membre ont respecti-

Fig. 253.

vement pour bases a, b , c, et pour hauteur commune le rayon r du cercle inscrit , on a

g ar br ^ cr a -h b -f- c 2 2 2 2

( 2 ) S = pr.

3° En joignant aux trois sommets le centre O' du cercle ex-inscrit situé dans l’angle A, on voit que

c’est-à-dire

br'

ABC = O'C A -f- O'AB — O'BC

cr' ar' b -h c — a ip — ia

On trouverait de même

3j6 géométrie plane.

Les formules (2), (3), (4), (5), donnent de nouvelles expressions de l'aire d’un triangle.

4° Les formules (1), (2), (3), (4), (5), permettraient inversement de calculer R, r, r', r", r'” , en fonction des trois côtés, si l’on connaissait l’expression de l’aire S en fonction de ces côtés.

Or, cette expression résulte immédiatement du calcul fait au n° 229. On a trouvé, en effet,

h = ~, \ip\p — a){p — b){p—c)'>

d’où, en remarquant que S =-•//, j

On peut d’ailleurs établir cette formule géométriquement de la manière suivante {fig. 253).

En multipliant les relations (2) et (3) membre à membre, on obtient

Les bissectrices OC et O'C des deux angles adjacents et supplémentaires EGA, BCQ, étant rectangulaires, les triangles OPC, O'QC, sont semblables comme ayant les côtés perpendiculaires, et l’on a

OP. O'Q = PC.CQ.

Mais OP et O'Q sont respectivement égaux à r et à r', et, d’après le n° 161, les longueurs PC et CQ sont respectivement égales à p — b et à p — c. On a donc

rr ' — [P - b) ( p—c ),

et, par suite, la relation qui représente le produit des équations (2) et (3) devient

5° Enfin, en multipliant membre à membre les relations (2), (3), (4) et (5), on obtient

S1 = p[p~ a) (p — b) [p — c). 7’. r'.r".r"', d’où résulte, eu égard à la formule (6), l’expression plus curieuse qu’utile (7) S = \fr ,r* .r" .r’" .

Application numérique. — Calculer Paire S et les rayons R, r, r\ r", r'", des cercles circonscrit , inscrit et ex-inscrits, relatifs au triangle c/ui a pour côtés

3n a d’abord