LIVRE IV
LES AIRES
D'ailleurs, on a (269 )
Le rapport des aires est donc égal à
et1 , r*
— ou a — •
Cette proposition résulte encore de ce que deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont semblables (269), et de ce que les aires de deux polygones semblables sont ■ entre elles comme les carrés de leurs droites homologues (435, 211).
SCOLIE
446. Par un raisonnement analogue à celui du n° 444, on prouverait que Paire d’un secteur polygonal régulier O ACDB I {fi g. 260) a pour mesure le produit du périmètre de la ligne brisée régulière ACDB par la moitié de l’apothème 01.
447. Soit OAB un secteur circulaire (fg> 260). En partageant l’arc AB en un nombre quelconque 11 de parties égales et menant des tangentes par les milieux des divisions ainsi obtenues, on forme deux secteurs polygonaux réguliers OACDB, ÔA'C'D'B', semblables, l’un inscrit et l’autre circonscrit au secteur circulaire OAB. Si l’on désigne par a et p l’apothème et le périmètre de la ligne brisée régulière ACDB, et par a! et // l’apothème et le périmètre de la ligne brisée régulière À'C'D'B', le
rapport des aires des deux secteurs polygonaux sera D’ailleurs,
il résulte du n°291 que, lorsqu’on fait croître n indéfiniment suivant une
loi quelconque, les rapports — ? —, ? ont pour limite l’unité. Donc, il en est
de môme du rapport ~~rjo et par suite, à fortiori, du rapport du secteur
circulaire à chacun des deux secteurs polygonaux qui le, comprennent. Donc :
L’aire d’un secteur circulaire est la limite commune des aires des secteurs polygonaux réguliers semblables inscrit et circonscrit, lorsqu’on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée inscrite.
Et, de môme, l’aire d’un cercle est la limite commune des aires des polygones réguliers semblables inscrit et circonscrit, dont on fait croître indéfiniment le nombre des côtés.
Il importe de remarquer que ces deux énoncés sont de véritables théorèmes, tandis que les énoncés analogues (291 ) sur la longueur de l’arc et de la circonférence ne sont que des définitions.
THÉORÈME
448. L’aire d’an cercle a pour mesure ls produit de sa circonférence par la moitié du ray on.
L’aire du cercle est la limite des aires des polygones réguliers inscrits dont le nombre des côtés croît indéfiniment. D’après cela, soient S, G, B, l’aire, la circonférence, le rayon du cercle considéré, et s, p, a, l’aire, le périmètre et l’apothème d’un polygone régulier inscrit dans ce cercle. On a ( 444)
Lorsqu’on fait croître indéfiniment le nombre des côtés du polygone régulier inscrit, a tend vers S, p vers C et a vers R. On a donc, à la limite,
Corollaires.
449. En remplaçant dans la relation précédente la circonférence C par sa valeur
(2) c = 2 TT R, on obtient la nouvelle formule
(3) S = ttR2, qui montre :
i° Que, pour calculer l'aire d’un cercle de rayon donné , il faut multiplier par tt le carré du ray on;
20 Que, pour calculer le ray on d’un cercle d'aire donnée, il
faut multiplier par - ou diviser par tt le nombre qui exprime
TT
cette aire, et extraire la racine carrée du résultat.
LES AÏRES.
