LIVRE IV

LES AIRES

Supposons la ligne L de forme quelconque, et qu’elle compose avec la roite a le périmètre de la figure r/L; on peut toujours construire sur a n serment de cercle dont l’arc a soit ésal à L, a et L étant situés du îême côté de a. Complétons le cercle, et désignons 1 autre arc par p ; lors le cercle de périmètre a h- p est plus grand que la figure limitée s ar L -+- p ; ainsi «a ap > a.L -+- ap ; donc civ. > aL.

On déduit de ce théorème cette règle générale :

Dans tonte figure chut l’aire doit être un maximum sous des conditions quelconques, chaque partie du périmètre, qui est libre d’avoir une forme nielconque entre deux points donnés, doit être un arc de cercle .

THÉORÈME

48o. i° Un polygone de côtés donnés est maximum lorsqu’il est inscrijr- 'ible au cercle.

Observons d’abord qu’on peut toujours, avec des côtés donnés a, b , c, . . . , /, dont le plus grand a est moindre que la somme de tous les autres, former un polygone convexe inscriptible, et un seul. En effet, décrivons un premier cercle O assez grand pour que, en 'portant les unes à la suite des autres, à partir de l’un des points A de la circonférence, des cordes AB = a, BC = b,. . LM = /, l’extrémité M de la dernière corde n’atteigne pas le point A. Le centre O étant d’abord si:ué dans le segment BCMA au-dessus de AB, supposons que ce centre s'abaisse d’une manière continue en décrivant la droite OZ perpendiculaire sur le milieu de AB. L’arc BCMA de la circonférence variable qui a pour centre O et qui passe par A et B décroîtra, et comme il a pour limite la droite AB, c’est-à-dire une longueur moindre que 6-t-c-h. . . + /, on voit que l’extrémité M de la ligne brisée inscrite BC. . ,M s’approchera du point A, et l’atteindra pour le dépasser ensuite. 11 y aura donc une position du centre O et une seule, pour laquelle la ligne brisée ABC. . . M formera un polygone inscrit, comme nous l’avons annoncé.

Cela posé, soient S un cercle et P un polygone inscrit de côtés donnés a, b, c,. . ., /; P' étant un polygone quelconque formé avec les mêmes côtés, ajoutons à ce polygone P', sur chacun des côtés, les segments circulaires qui surmontent les côtés correspondants du polygone inscrit P. Un obtient ainsi une figure S' terminée par des arcs circulaires, et dont le périmètre est égal à la circonférence du cercle S. On aura donc (483) S> S', d’où, en retranchant de part et d’autre les segments circulaires qui surmontent les côtés, P > P'.

Entre tous les polygones isopérimètres d’un meme nombre de côtés, le polygone régulier est un maximum; et réciproquement, entre les périmètres de tous les polygones équivalents d’un même nombre de côtés, celui du polygone régulier est un minimum.

GÉOMÉTRIE PLANE

En effet, le maximum parmi les polygones isopérimètres de n côtés doit d’abord avoir tous ses côtés égaux entre eux ; car si deux côtés consécutifs AB et BC étaient inégaux, en remplaçant le triangle ABC par un triangle isocèle AB'C construit sur la même base et de même périmètre, on aurait (478) une figure isopérimètre de n côtés et d’aire plus grande. Par suite, les côtés du polygone sont donnés et égaux chacun à la deme partie du périmètre; de plus, en vertu de la première partie du théorème qui nous occupe, le polygone maximum doit être inscriptible au cercle: Donc, enfin, le polygone maximum, devant être à la fois équilatéral et inscriptible, est régulier.

486. D’après cela, quand on cherchera quel polygone a faire maximum pour un périmètre constant, ou le périmètre minimum pour une aire constante, le nombre des côtés étant variable, on n’aura qu’à s’occuper des polygones réguliers, et l’on trouvera la loi suivante :

Les aires des polygones réguliers isopérimètres forment une série croissante, cjui commence par le triangle et se termine par le cercle ; et les périmètres des polygones équivalents forment une série décroissante, a partir du triangle jusqu’au cercle.

En effet, deux polygones réguliers isopérimètres d’un nombre de côtés différents étant donnés, par exemple un pentagone ABCDE et un quadrilatère abccl , on peut considérer ce dernier comme un penlagone dont l'un des côtés serait nul, ou bien, en prenant arbitrairement un point e sur un des côtés de ce quadrilatère, par exemple sur ad , le considérer comme un pentagone abcde , dont l’un des angles c serait égal à deux angles droits; le quadrilatère régulier peut donc être regardé comme un pentagone irrégulier : donc son aire est plus petite que celle du pentagone régulier ABCDE.

SUR LA GÉOMÉTRIE PLANE