LIVRE IV

LES AIRES

En effet, que l’on répartisse comme on voudra la somme donnée sur es deux côtés, le triangle maximum sera toujours celui dans lequel cos leux côtés seront perpendiculaires entre eux; il ne reste donc plus qu’à Comparer les triangles rectangles dont la somme des côtés de l’angle droit est constante. Considérons un de ces triangles rectangles P et sur son hypoténuse construisons un triangle isocèle Q dont les côtés égaux aient la même somme que les côtés de l’angle droit de P ; enfin, désignons par R le triangle isocèle dont les côtés égaux auraient la môme longueur que ceux de 0 fit seraient de plus à angle droit; on aura, par ce qui précède, P < Q et Q < R ; il en résulte donc R > P.

THÉORÈME

483. Entre toutes les figures planes isopérimètres } le cercle est un maximum [fig. 274).

L’aire d’une figure de périmètre donné peut évidemment devenir aussi petite qu’on veut; mais elle ne peut grandir indéfiniment, puisque cette figure reste forcément comprise dans l’intérieur du cercle décrit d’un point de son contour comme centre avec un rayon égal à la moitié du périmètre donné. Entre toutes les figures planes isopérimètres, il y a donc une figure maximum, ou plusieurs figures maximums de différentes formes et de même aire.

D’ailleurs, toute figure maximum de périmètre donné est convexe, sans quoi on pourrait agrandir son aire sans changer la longueur de son contour.

Cela posé, soit EFGH une figure maximum ayant le périmètre donné. A tout point A pris à volonté sur son contour répond un autre point R de ce contour, tel que la droite AB divise le périmètre en deux parties égales. Les aires AEFB, AUGB, devront être égales, sans quoi, en remplaçant la plus petite d’entre elles par la figure symétrique par rapport à AB, on obtiendrait une figure totale de même périmètre que la première et d’aire plus grande, de sorte que la première figure ne serait pas un maximum comme on l’a supposé.

R résulte de là que, si dans une figure maximum EFGII de périmètre donné on remplace la partie au-dessous de AB par une partie symétrique

de celle qui est au-dessus de cette droite, la nouvelle figure totale sera encore une des figures maximums.

Raisonnons actuellement sur cette nouvelle figure; en d’autres termes, admettons que la partie AlIGB soit symétrique de ÀEFB par rapport à AB. Soit G un point quelconque du contour AEFB; prenons son symétrique D par rapport à AB et menons CA, AD, DB, BC. L’angle ACB sera droit; car si les angles ACB, ADB, n’étaient pas droits, on pourrait construire avec les mômes côtés CA, AD, DB, BC, un quadrilatère dans lequel les angles 7 et § seraient droits; ce nouveau quadrilatère serait plus grand que l'ancien (481), et en plaçant respectivement sur les côtés ay, y(3, <ü(3, a$, les segments AEC, CFB, BGD, DMA, qui sont actuellement sur CA, BC, DB, AD, on aurait une figure totale ayant le même périmètre que AECFBGD11A et une aire plus grande, de sorte que cette figure AECFBGDHA ne serait pas un maximum comme on l’a supposé. Donc, de tout point C du contour AECFB, on voit la droite AB sous un angle droit; par suite, ce contour est le demi-cercle décrit sur AB comme diamètre.

Ainsi, si une figure de périmètre donné est maximum, sa moitié ACB, prise a partir d’un point quelconque A de son contour, est un demi-cercle. La figure totale est donc un cercle.

Donc, enfin, il n’y a qu’une seule figure maximum de périmètre donné, et cette figure est un cercle.

Steiner donne à ce théorème le nom de théorème principal, parce que sa démonstration renferme les principes les plus essentiels relatifs à la plupart des questions de maximums dans les figures planes (ou sphériques).

THÉORÈME

484. i° Si le périmètre d’une figure se compose d’une droite de longueur arbitraire l et d'une ligne de forme arbitraire L, et si en meme temps la longueur de la ligne L ou l’aire de la figure est donnée, celle-ci est un maximum ou la ligne L est un minimum, quand cette figure est un demi-cercle.

Toute figure comprise dans ce théorème peut être considérée comme la moitié d’une figure symétrique, dont la droite l est l’axe de symétrie, et dont le périmètre, égal à 2.L, est donné; mais Faire de la moitié est nécessairement un maximum, dès que la figure entière en est un. L’énoncé est donc une conséquence du théorème principal. Il s’ensuit en particulier : qu 'entre tous les segments de cercle à arcs égaux ou à aires égales, c’est le demi-cercle qui a l’aire la plus grande ou l’arc le plus petit.

2° Entre toutes les figures dont le périmètre est composé d’une droite donnée a et cl’une ligne prise a volonté L, le segment de cercle a la plus grande aire pour des longueurs égales de la ligne L, et la plus petite ligne L quand les aires sont égales.