Construire un triangle, connaissant

i° Un angle, ainsi que la hauteur et la médiane issues de son sommet;

a0 Un côté, un angle et une hauteur (cinq cas).

431. Construire un triangle ayant des angles donnés et tel, que ses sommets appartiennent à deux circonférences concentriques données.

432. Construire un triangle, connaissant la base, la différence des angles à la base, et sachant que le sommet doit être situé sur une droite donnée.

133. Dans tout triangle rectangle, le diamètre du cercle inscrit est égal à l’excès de la somme des deux côtés de l’angle droit sur l’hypoténuse.

134. Étant donnés un triangle, le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits, démontrer : i° que les quatre points de contact qui se trouvent sur un même côté (deux intérieurs et deux extérieurs) sont deux à deux équidistants du milieu de ce côté; a° que la distance d’un point de contact extérieur au plus éloigné des deux sommets situés sur le même côté est égale au demi-périmètre du triangle; 3° que la distance du point de contact du cercle inscrit à l’un des sommets situés sur le même côté est égale au demi-périmètre diminué du côté opposé à ce sommet; 4° que la distance des deux points de contact intérieurs situés sur le côté considéré est égale à la différence des deux autres côtés du triangle; 5° que la distance des deux points de contact extérieurs est égale à la somme des deux autres côtés du triangle; 6° que la distance du point de contact du cercle inscrit à l’un des points de contact extérieurs est égale à celui des deux autres côtés du triangle qui aboutit au sommet situé entre ces deux points de contact.

136. Soient ABC un triangle, D le centre du cercle circonscrit, O celui du cercle inscrit, et O', O", O'", les centres des cercles ex-inscrits respectivement situés dans les angles A, B, C; démontrer : i° que le cercle circonscrit passe par les milieux des droites 00', 00", 00"'; i° que les quatre points 0, B, C, 0', sont sur un même cercle dont le centre est sur la circonférence D; 3° que les points 0", B, C, 0"', sont sur un même cercle dont le centre est sur la circonférence D.

136. Si l’on désigne par B le rayon du cercle circonscrit ou triangle ABC ; par r celui du cercle inscrit, par /•', r ", r"\ ceux des cercles ex-inscrits;

par 3, 3\ ô", les perpendiculaires abaissées du centre du cercle circonscrit sur les côtés; par p, p', p", les portions de cos perpendiculaires comprises entre les côtés du triangle et la circonférence circonscrite, on a les relations

La dernière relation suppose que le centre D du cercle circonscrit est situé à l’intérieur du triangle. Dans le cas où le point D est extérieur, comment faut-il modifier cette relation?