LU . LK = LD . LE, HD . I1E = DE . HL

186. Quatre points étant sur une même circonférence, dans chacun des triangles formés par ces quatre points pris trois à trois, existe un point de rencontre des hauteurs : démontrer que ces quatre points de rencontre sont sur une même circonférence égale à la première.

187. La somme des carrés des trois côtés d’un triangle est égale:

i° A deux fois la somme des produits de chaque hauteur par la portion comprise sur elle entre le sommet correspondant et le point de concours des trois hauteurs;

20 A douze fois le carré du rayon du cercle circonscrit, moins la somme des carrés des trois droites qui unissent les sommets au point de concours des trois hauteurs.

§ III. — Similitude des polygones.

188. Si les trois côtés d’un triangle font respectivement avec les trois côtés d’un autre triangle des angles égaux, ces deux triangles sont semblables.

189. Étant donné un triangle ABC, y inscrire un triangle semblable à un triangle donné, et qui ait l’un de ses sommets en un point donné sur l’un des côtés du triangle ABC.

190. Un billard circulaire étant donné, dans quelle direction faut-il lancer la bille pour qu’elle revienne au point de départ, après avoir frappé deux fois la bande?

191. Si un triangle circonscrit à un triangle fixe se meut en restant semblable à lui-même, un point quelconque de son plan décrit une circonférence.

192. On donne une droite XY et un angle BAC dont le sommet est en un point fixe A hors de cette droite. Le point B étant le point commun à la droite XY et au côté BA, on prend sur l’autre côté de l’angle BAC un point C tel, qu’on ait

AB.AC = A2

Déterminer le lieu décrit par le point C lorsque l’angle BAC tourne autour de son sommet.

193. Mener à un cercle donné, par deux points donnés extérieurement, deux sécantes qui se coupent sur le cercle, et dont les deux autres points d’intersection avec la circonférence déterminent une corde parallèle à une direction donnée.

194. Inscrire dans un triangle donné un triangle semblable à un triangle donné, et qui soit minimum.

195. Circonscrire au système de trois cercles donnés un triangle semblable à un triangle donné, et qui soit maximum.

19G. Inscrire dans un triangle donné trois cercles dont les rayons et les distances des centres soient dans un rapport donné, et qui forment un système minimum.

197. Trouver le lieu du troisième sommet d’un triangle semblable à un triangle donné, et dont un sommet reste fixe, tandis que l’autre décrit une droite ou une circonférence donnée.

198. On donne un point A et une droite BC; trouver le lieu des points M qui divisent les sécantes AN menées du point à la droite, de manière qu’on ait