BC ~ CO
de sorte que
YZ ZX XY t arx b\ 1 c y 2 R
3° Des égalités (2), on déduit
( 3 ) DXZ — DXY = DBZ — DCY.
Or, si n1 b , c, d désignent quatre semi-droites (408), on a l’identité
angle ab — angle cd = angle ac — angle bd ,
qu’on vérifie aisément en rapportant les angles à une meme droite-origine. En l’appliquant au second membre de la relation (3), on obtient
YXZ =: BDC - BAC.
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE
SCOLIE
20. i° Le théorème précédent renferme cette propriété importante du quadrangle complet, dont nous ne pouvons donner ici que l’énoncé : A, B, C, D étant quatre points d’un meme plan, on a V équipollence
AB. CD -h AD.BC -+- AC.DB = o;
autrement dit, les produits AB. CD, AD.BC, AC. DB sont équipollents aux trois côtés d’un trie aigle.
2° Appelons triangle associé à un quadrangle complet le triangle dont les côtés ont pour valeurs numériques les produits des côtés opposés du quadrangle. On voit que ce triangle est semblable à chacun des triangles podaires ou métaharmoniques de l’un des sommets du quadrangle par rapport au triangle des trois autres sommets. Au n° 2 10, il a été donné une autre construction d’un triangle semblable au triangle associé.
Nous laissons au lecteur le soin de démontrer le théorème suivant :
La forme du triangle associé à un quadrangle complet ne change pas , si l’on soumet les sommets de ce quadrangle à une transformation par rayons vecteurs réciproques.
3° Soient S«, S^, Sc, les aires des triangles BCD, CDA, DAB, ABC. et soient pia, [xc, pu les puissances des cercles circonscrits à ces triangles, respectivement par rapport aux points A, B, C, D; enfin, désignons par T l’aire du triangle associé au quadrangle ABCD, c’est-àdire la quantité (428)
^ f (a oc h- b {3 h- c y ) ( — a oc -y b $ H- cq)(aoc — b [3 -+- c q ) ( a a
Nous avons trouvé ci-dessus (N., 19) les relations
Il en résulte que
Bi Ci Ci Ai Ai Bi __ pu *
a a b 3 cq aÜq
JLClC.AlA.Bi = |x3f/ ^
abc a* p* y2
Les triangles ABC, AiB^ étant inscrits dans le môme cercle, la proposition du n° 428 (i°) donne
aire Ai Bi Ci S u
Les relations (4) donnent encore
lJ-3r/
aire Aj IL Ci
a oc
R. et de C. — Tr. de Géom. ( Ir< Partie).
NOTE III
En combinant les égalités (5) et (6), on voit que
T — [xa Sa — \xb S/j = p.c Sc = \XdSd-
Les équations (7) sont dues à von Staudt(V. de C relie , t. 57, p. 88.)
21 . Nous appelons centre métaharmonique de deux triangles ABC, A'B'C', un point D du plan ABC, tel que le triangle métaharmonique ou podaire de ABC par rapport à ce point soit semblable à A'B'C'.
Soit D/ l’inverse (N., 9 et suie.) du point D dans le triangle ABC; les côtés du triangle podaire de D étant perpendiculaires aux droites AD/, BD/, CD/, D/ est le métapôle (N., 14 et suie.) de ABC, A'B'C'.
Désignons par D/, E/ les deux métapôles des triangles donnés ; les inverses D, E de ces points dans le triangle ABC sont les centres métc^harmoniques de ABC, A'B'C'.
Le premier centre métaharmonique D est à l’intérieur du cercle ABC; on peut le déterminer par l’intersection des circonférences des segments capables des angles A h- A', B 4- B', C 4- C' décrits sur BC, CA, AB vers l’intérieur du triangle ABC (N., 19, 3°). Si la somme A 4- A' est supérieure à 180°, le point D se trouve dans la région 1 (N., 1 ) et le segment décrit sur BC est capable de l’angle A 4- A' — 180°.
Le second centre métaharmonique E est à l’extérieur du cercle ABC. Il appartient aux circonférences des segments capables des anglesA — A', B — B', C — C' décrits sur BC, CA, AB vers l’intérieur du triangle AEC. Si la différence A — A' est négative, on décrit sur BC, vers l’extérieur du triangle ABC, un segment capable de l’angle A' — A.
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE
\Ol
Le triangle métaharmonique et le triangle podaire du premier centre D par rapport au triangle ABC sont de môme sens que ce dernier; ceux du second centre E ont une orientation différente.
THÉORÈME
22. Soient 1), E les deux centres métaharmonique s du triangle ABC par rapport au triangle A'B'C' (fi g. 17) : i° Les rayons vecteurs de D sont proportionnels à ceux de E ; i° Les points D, E divisent harmoniquement un meme diamètre de la circonférence .ABC.
i° Soient XYZ, X'Y'Z' les triangles podaires des points D, E. On a (N., 19)
a. AD a. AE
l L — - T— > XL — - 77— 1
d'où
