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donc ce sont

les droites doubles des triangles inversement semblables XVZ, X'Y'Z'; leur interseclion F est le point double de ces triangles. On peut démontrer que F est au milieu de la distance des points Dz-, E/, inverses de D, E par rapport au triangle ABC, et qu’il appartient à la circonférence des neuf points.

2° Trouver, dans le plan du triangle ABC, un point dont les distanecs aux sommets soient proportionnelles aux nombres donnés /, m , n.

Ce problème, d’après ce qui précède, admet pour solutions deux points qui divisent harmoniquement un diamètre du cercle ABC ; on parvient au même résultat en appliquant le lieu géométrique du n° 187.

En effet, soient (fig- 19) F, L' les points qui divisent le côté BC harmoniquement dans le rapport m : ti, et soient N, N' les points qui divisent AB harmoniquement dans le rapport l : m. Les circonférences décrites sur LL' et sur NN' comme diamètres se coupent en deux points D et E (réels ou imaginaires), qui résolvent le problème proposé.

Fi st- 19.

Comme elles sont orthogonales à la circonférence ABC (383), leur corde commune passe par le centre de cette courbe et est divisée harmoniquement par cette ligne.

GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE

Soient M, M' les points qui partagent CA dans le rapport n : l. Les droites AL, BM, CN se coupent en un même point P qui a pour coordonnées barycentriques j) > - ; les points L', Mr, N' sont situés sur une

même droite /?, polaire trilinéaire de P. Les cercles qui ont pour diamètres respectivement LL', MM', NN' ont même axe radical DE; leurs centres L", Al", N", d’après une propriété des divisions harmoniques, divisent BC, CA, AB dans les rapports m2 : n2, / i-\ l 2, l2\m2\ la droite L M"N" est perpendiculaire au milieu du segment DE, et a pour coordonnées /2, m2, u 2.

2L Deux points D, E dont les distances aux sommets du triangle fondamental sont proportionnelles aux mêmes nombres, /, m, /?, sont dils tripolcdrement associes par rapport à ce triangle.