SY MÉDIANES
25. Soient A', B', C' les milieux des côtés du triangle fondamental ABC. Les isogonales des médianes AA', BB', CC'sont appelées sy médianes du triangle ABC; elles concourent en un même point K, inverse du centre de gravité G (N., 10); K est le centre des sjmédianes , ou le point de Lemoine ( 2 ) de ABC.
La sj médiane AK est le lieu des milieux des transversales anti parallèles à BC par rapport à l’angle BAC [fig- ?.o). Car, si l’on retourne le triangle BAC autour de la bissectrice AI, BC devient antiparallèle à sa direction primitive, et AA' coïncide avec AK.
Les conjuguées harmoniques des sy médianes AK, BK, CK par rapport aux angles A, B, C du triangle fondamental coïncident avec les tangentes menées par A, B, C au cercle circonscrit. Cette propriété résulte de la précédente; car les tangentes sont parallèles aux transversales antiparallèles (338).
Désignons par K^K^Kc le triangle formé par les tangentes, par Kj, K2, K3 les points de rencontre des symédianes AK, BK, CK avec BC, CA, AB. Les points Ka, K^, Kc, pôles des cordes BC, CA, AB du cercle xYBC, senties associés de K (N., 6); les triangles ABC, KaK^Kc, K1K2K:j ont, depx à deux, le même axe d’homologie klkikz. Cet axe est la polaire trilinéaire de K; on l’appelle souvent droite de Lemoine de ABC.
(») Maurice d’Ocagne, Nouvelles Annales de Mathématiques , 1884.
(2) Emile Lemoine, Association française pour l’ Avancement des Sciences, ! Congrès de Lyon, 187.3, et Nouvelles Annales de Mathématiques, 1873.
Les nombreux travaux de M. E. Lemoine permettent de le regarder comme l’initiateur de la nouvelle Géométrie du triangle. 11 n'est que juste de citer, à côté de lui, MM. H. Brocard et J. Neuberg.
NOTE III
La polaire trilinéaire de K est aussi la polaire de ce point par rapport à la circonférence 0. Car le pôle de la droite AK, par exemple, étant à l'intersection des polaires des points A, Ka, les points Ai, A2, A. sont les pôles des symédianes, et la droite AtA2A3 est la polaire du centre des symédianes.
On conclut de cette propriété que la polaire de K est perpendicu-
hure à la droite OK et (tue sa distance au centre 0 est égale à 77— •
