Si a2 — -(b2-\-c
i° Le triangle podaire XYZ de K est semblable à ACB;
2° La circonférence AB'C' passe par G; les circonférences AGB, AGC touchent le côté BC ; la circonférence BGC passe par H ;
3° OK est perpendiculaire à AK, GK est parallèle à BC;
4° AK = B K. CK, 2ÂH 2 = BH 3 -t- CH 2;
5° Le triangle podaire de G est isocèle;
6° Le cercle qui passe par A et les pieds des bissectrices intérieure et extérieure de l’angle ABC passe par G;
7° Lorsque deux sommets du triangle ABC restent fixes, le troisième décrit une circonférence.
34. Soient X, Y, Z les projections du centre de gravité G du triangle ABC sur les côtés BC, CA, AB. La droite GX rencontre CA en Xl5 AB en X2; la droite GY coupe AB en Yt, BC en Y2; enfin, la droite GZ
494 GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE
coupe BC en ZL, CA en Z2. Démontrer les formules
XjYjZ^ x2y2z2
XYZ = -4-
aï 4- b2 -4- cï a 2 b'1 c2
9 ( — aï -+- b‘2 4- c2)(« 2 — b 2 4- c2)(aï 4- ô2 — c2)
33. Soient Ai, B1} Ci les projections du centre K des symédianes du triangle ABC sur les perpendiculaires élevées aux milieux des côtés. Soit D le point de concours des droites AAi, BBi, CCt. Démontrer que les droites joignant les milieux des côtés homologues des triangles ABC, AiBiCi concourent en un même point S, qui est, à la fois, le complémentaire de D, le milieu de la distance 12Q' et l'inverse du pôle de la corde Qii' du cercle (OK).
36. II étant l’orthocentre du triangle ABC, on porte, sur les droites HA, HB, HC, des longueurs HA', HB', HC' égales aux hauteurs correspondantes de ABC. Les parallèles menées par A', B', C' aux. côtés BC, CA, AB forment un nouveau triangle A"B"C". Démontrer que H est le centre de gravité de A"B"C", et que le centre d’homothétie des triangles ABC, A' B" G" est le centre du cercle des neuf points de chacun d’eux.
37. A un triangle donné ABC, on circonscrit deux triangles AjBiCi et A2B.2C2, semblables à un triangle donné a(3y, et ayant leurs côtés homologues perpendiculaires entre eux. Démontrer que la somme des aires des triangles A1B1C1, A2B2C2 est constante.
38. On mène, par les sommets d’un triangle ABC, des droites faisant un même angle X, dans le même sens, avec les côtés opposés; soit A'B'C' le triangle formé par ces droites. On demande de démontrer que :
i° Le centre du cercle circonscrit à A'B'C' est l’orthocentre de ABC;
2° Les projections de BC, CA, AB sur B'C' C'A', A' B' sont égales
3° Il existe une valeur de X telle, que le triangle A'B'C' soit égal à ABC.
39. Étant donnés les sommets B, C d’un triangle ABC et la symédiane indéfinie BK, le sommet A décrit une circonférence.
iO. Construire un triangle ABC, connaissant :
i° Les longueurs AB, AC, AKi ;
2° Les longueurs BC, AA', AK! ;
3° Les points B, C, K:
4° Les points B, C, il ;
5° Les points A, G, K;
6° Les points A, O, K;
7° Les points A, O, 12.
41. Sur une droite fixe OX, on porte trois longueurs OA', OB', OC' égales aux côtés d’un triangle ABC; puis on forme les angles XA'M, XB'N, XC'P, respectivement égaux aux moitiés des angles opposés de ABC. Démontrer que :
i° Les droites A'M, B'N, C'P se rencontrent en un même point T;
2° Les longueurs A'T, B'T, G' T sont égales aux distances AI, Bl, CL I désignant le centre du cercle inscrit à ABC;
3° La perpendiculaire TQ abaissée sur OX est égale au rayon de ce cercle ;
4° OQ est égale au demi-périmètre de ABC.
42. On construit trois angles XOA', XOB', XOC' égaux aux angles A, B, C d’un triangle ABC, et l’on prend OA7 — BC, OB' = CA, OC7 — AB. Démontrer que :
i° Les points O, A7, B7, C7 sont situés sur une circonférence égale à la circonférence ABC ;
2° Les côtés du triangle A7B7C7 sont doubles des distances comprises entre les milieux des côtés de ABC et les pieds des hauteurs correspondantes ;
3° Les distances de O aux points de rencontre de OX avec B'C7, C'A7,
, bc ca ab A B sont égalés a — ? - > — :
au c
4° La droite joignant O au centre de gravité du triangle A'B'C7 fait
TU
avec OX un angle égal à - — V, Y étant l’angle de Brocard de ABC.
43. Sur une droite fixe OX, on porte trois longueurs OA7, OB', OC7 proportionnelles aux carrés des côtés d’un triangle ABC; puis on forme les angles XA'M, XB'N, XC'P égaux aux angles opposés A, B, C. Démontrer que :
i° Les droites A'M, B'N, C'P se rencontrent en un même point T;
2° Les longueurs A'T, B'T, G'T sont proportionnelles aux rectangles bc, ca, ab des côtés;
3° La perpendiculaire TQ abaissée sur OX est proportionnelle au double de l’aire ABC;
4° OQ est proportionnelle à a'2 -h b’2-'- c2);
5° OT est proportionnelle k\Jci2b2- +- 62c2h-<?2«2;
6° L’angle XOT est égal à l’angle V de Brocard du triangle ABC.
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE
44. Soient A, B, C, D quatre points d’une circonférence. Démontrer ; que les centres des cercles inscrits aux triangles ABC, ACD, BCD, ABD sont les sommets d’un rectangle. Considérer également les centres des cercles exinscrits.
45. Une transversale m coupe les côtés d’un triangle ABC aux points ; nu 7722, /773 ; les perpendiculaires élevées en ces points sur les côtés correspondants de ABC forment un nouveau triangle A'B'C'. Démontrer que :
i° Les droites AA', BB', CC' se coupent en un même point M, commun aux deux circonférences ABC, A'B'C';
2° Ces circonférences sont orthogonales (383);
3° Les droites de Simson (169, ti°) de M par rapport aux triangles ABC, A'B'C' sont parallèles à m;
4° Les points A', B', C' parcourent des circonférences, lorsque m se déplace de manière que l’aire du triangle A'B'C' soit constante.
46. Soient AHi, BII2, CH3 les hauteurs du triangle .ABC, et II leur ! point de concours; A', B', G' les milieux de BC, CA, AB; A", B", C" les milieux des segments AH, BH, GH; A'", B'", C'" les milieux de H2H3, HaHi, H1H2. Démontrer que :
i° Les droites de Simson des sommets de l’un des triangles HiH2H3, A'B'C' par rapport à l’autre triangle, concourent au centre T du cercle inscrit au triangle A'" B'" G'";
2° Les droites de Simson des points A", B", C" par rapport au triangle A'B'C', forment un triangle qui est homologique avec le triangle ABC par rapport au centre de gravité du triangle HiH2H3 et qui a pour orthocentre le point T.
47. Soient O, I les centres du cercle circonscrit et du cercle inscrit à un triangle ABC; KaK*Kc le triangle que forment les tangentes menées en A, B, C au cercle O; a, fi, y les centres des cercles inscrits dans les triangles KaBC, K^CA, KCAB; enfin, a'(3'y'le triangle formé par les cordes communes aux cercles O et a, O et (3, O et y. Démontrer que :
i° Les diagonales de l’hexagone formé par les côtés des triangles ABC, a [3 y sont parallèles aux côtés de ABC, passent par I et touchent, chacune, deux des cercles a, [3, y;
2° Le centre radical des cercles a, [3,- y coïncide avec le centre du cercle inscrit au triangle a'(3'y';
3° Les droites Aa', B (3', Cy' se coupent en un môme point dont les coordonnées normales sont <7.2, ô2, c2.
48. Soit A'B'C' le triangle formé par les symétriques d’une droite m
par rapport aux trois côtés d’un triangle donné ABC. Démontrer que :
i° Le triangle A'B'C' est de forme constante;
20 Le centre du cercle inscrit à A'B'C' (d’un cercle exinscrit, lorsque le triangle ABC est obtusangle) est sur la circonférence ABC;
3° Quand la droite m se déplace parallèlement à elle-même, les points A', B', C' décrivent des droites;
4° Quand la droite m roule sur une circonférence ayant pour centre l’orthocentre du triangle ABC, l’aire A'B'C' reste invariable.
49. Un triangle ABC étant inscrit dans un cercle S, on considère sur | la circonférence deux points P et P'. Les projections de ces points
sur les côtés du triangle sont situés sur deux droites qui se coupent en M. Cela posé :
i° Démontrer que ce point M décrit une circonférence S' quand le sommet C se meut sur le cercle S, les points A, B, P, P' restant fixes;
2° Trouver le lieu des centres des cercles S' lorsque les points P et P' se déplacent sur la circonférence S, de façon que l’arc PP' ait une longueur constante. ( Agrégation , 1879.)
50. Un triangle ABC tourne autour d’un point fixe X de son plan. Soient A', B', C' les intersections des côtés homologues dans deux positions quelconques du triangle. Démontrer que le quadrilatère X A'B'C est toujours semblable à lui-même.
Comment faut-il choisir le point X pour qu’il soit le centre du cercle circonscrit ou inscrit au triangle A'B'C', ou l’orthocentre de A'B'C', ou son centre de gravité?
51. On considère les cercles exinscrits à un triangle ABC et l’on joint les points de contact de ces cercles avec les deux côtés qui ont été prolongés; on forme ainsi un nouveau triangle A'B'C'.
Soient O, I, Ia, U, U les centres, et B, r, ra, v/,, rc les rayons des cercles circonscrit, inscrit et exinscrits à ABC. Démontrer que :
i° Les côtés des triangles A'B'C', IaI/,Ic se coupent, deux à deux, aux pieds des hauteurs des triangles IaBC, I/,CA, ICAB ;
20 Les droites AA', BB', CC'.sont les hauteurs do ABC, et leur point de concours II est le centre du cercle circonscrit à A'B'C';
3“ AA' = ra, BB' = rb, CC' = rc, HA' = 2 R -+- r = ;
4° Les droites A'Ia, B'L,, C'Ic sont les symédianes des deux triangles A'B'C', lahlc (i).
(■) Les propriétés de cette figure ont fait l’objet du concours d'agrégation en 1873.
GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE
52. Sur les côtés d’un triangle ABC, on construit extérieurement les triangles A'BC, AB'C, ABC' semblables à un triangle donné a(3y; de même, on construit extérieurement les triangles A" B' G', A'B"C', A'BC semblables à Démontrer que :
i° Les circonférences circonscrites aux six triangles A'BC, ..., A"B'C', . . . passent par un même point ;
20 Les points A, A', A", O sont en ligne droite et AA' — AA";
3° Les droites BC' et B'C, CA' et C'A, AB' et A'B se coupent en trois nouveaux points A'", B'", C"' tels, que les droites AA'", BB'", CC'" concourent en un même point O';
4° Les droites A' A", B'B'", C'C'", 00' sont parallèles entre elles.
53. Étant donné un triangle ABC, on peut construire sur BC, du même côté que ABC, cinq triangles BCAi, CA2B, CBA3, A4CB, BA5C semblables à ABC. Démontrer que les six points A, A1? A2, A3, A4, A5 sont sur une même circonférence, et que les triangles AAiA2, A4A3A3 sont semblables à ABC.
54. Sur le côté BC d’un triangle ABC, on construit tous les triangles ayant même angle de Brocard V que le tri-angle ABC. Le lieu des sommets est une circonférence, dont le centre N« est situé sur la perpendiculaire menée au milieu de BC; l’angle BNÆC = 2V, et les tangentes menées de B et C à cette circonférence sont égales à BC.
55. Trois points Ai, Bi, Ci se meuvent sur les côtés BC, CA, AB d’un triangle ABC, de manière que le triangle A1B1C1 soit toujours semblable à ABC. Soient Aj,Bj-, C\ les seconds points de rencontre des côtés de ABC avec la circonférence AiBiCj.
Démontrer les théorèmes suivants :
i° Les triangles A1B1C1 ont pour centre permanent de similitude le centre 0 du cejcle ABC ; les triangles Ai B'j C't sont semblables au triangle orthique de ABC et ont pour centre permanent de similitude l’ortliocentre H du triangle ABC.
20 Les droites BiC'l5 CiA'j, AiBj forment un triangle abc, et les droites B't Ci, C\ Ai, A't Bi forment un triangle a! b' c' ; les côtés de ces triangles ont des directions invariables, et leurs sommets parcourent trois droites fixes AE, BL, CE passant par le réciproque de 0 par rapport au triangle ABC.
3° Les orthocentres des triangles ABjCi, BC1A1, CA1B1 sont à l’intersection de la circonférence A1B1C1 avec les perpendiculaires menées aux milieux des droites IIA, HB, IIC ; ces points sont, en même temps, les centres des cercles circonscrits aux triangles AB^Ci, BCiA^, C A\ Bj .
Les deux triangles A1B1C1, A', B\ Cj peuvent être homologiques par
rapport au point E : les droites AA'n BB'1? CG* ont alors des directions connues; quel est le rapport de similitude de Ai B! Ci, ABC?
56. Les bissectrices intérieures du triangle ABC rencontrent la circonférence circonscrite aux points A', B', C'; celles du triangle A'B'C' rencontrent la circonférence aux points A", B", C" ; et ainsi de suite.
Démontrer que les triangles ainsi obtenus ont pour limites deux triangles équilatéraux symétriques par rapport au centre du cercle ABC.
