t-pq + qî

5° Les triangles ABC, A'B'C, A"B"C" ont même angle de Brocard.

24. Le centre des symédianes d’un triangle ABC et le centre du cercle circonscrit sont des points réciproques par rapport au triangle complémentaire de ABC.

Le réciproque de l’orthocentre de ABC est l’anticomplémentaire du centre des symédianes.

25. Soient G, II le centre de gravité et l’orthocentre du triangle ABC

GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE

et soient oq, (G, yu a2, (32, y 2 les points de rencontre des hauteurs et des médianes de ABC avec la circonférence décrite sur GH comme diamètre. Démontrer crue :

i° Le triangle est inversement semblable à ABC, et que le

triangle a2 (32 y2 est inversement semblable au triangle podaire du centre K des symédianes de ABC.

20 Les droites a jaj, (3i(32, yly2 sont les symédianes des triangles «i P 1 y 1 , a2(32y2 et se coupent en K.

26. Les tangentes menées par les sommets d’un triangle ABC au cercle circonscrit formant le triangle KaK/,Kc :

i° Les coordonnées normales absolues de Ka sont — ^«tangA,

-ôtangA, -tangA.

20 K a et ses projections sur les côtés de ABC sont les sommets d’un parallélogramme.

3° Les droites joignant Ka, Ky,, Kc aux pieds IL, H2, H3 des hauteurs de ABC se coupent en un point de la droite OH, qui est l’inverse de l’anticomplémentaire de K.

4° Les droites joignant A, B, C aux milieux des segments OKa, OK*, OKc concourent au point inverse du centre du cercle des neuf points de ABC.

5° Le centre du cercle circonscrit au triangle KaK/,Kc est sur la droite OH.

27. Parmi les triangles inscrits à ABC, celui dont la somme des carrés des côtés est minimum a pour sommets les projections de K sur BC, CA, AB.

28. Soient I le centre du cercle inscrit ( r ) au triangle ABC; a, [3, y les points de contact de ce cercle avec les côtés de ABC ; O le centre du cercle ABC de rayon R; G' le centre de gravité du triangle a(3y. Démontrer que G' est sur la droite 01, que IG' = et que la polaire

de G' par rapport au cercle I passe par les pieds des bissectrices extérieures du triangle ABC.

29. Sur les côtés BA, CA d’un triangle ABC, on prend les longueurs BD = CE == BC. Démontrer que la droite joignant les centres 0, I du cercle circonscrit et du cercle inscrit au triangle ABC est perpendiculaire à la droite DE et égale au diamètre du cercle circonscrit au triangle ADE.

Quel est le théorème analogue sur les cercles exinscrits?

30. Si la droite OK du triangle ABC est parallèle à BC, on a les propriétés suivantes :

i° ô4-f- c4 = ci2(b2-\- c2);

3° 12 est sur la hauteur BII2, £2' sur la hauteur CII3;

4° La médiane CC' et la hauteur BH2 se coupent sur la symédiane AK; il en est de môme de BB' et CTÏ3 ;

5° AA' passe par le milieu de OK.

31. La droite £212' est parallèle ou perpendiculaire à AA' ou parallèle à OA, lorsque, respectivement,