I. - PREMIÈRES NOTIONS SUR LE PLAN

DÉFINITIONS

487. Un plan est une surface telle qu’une ligne droite y est contenue tout entière dès qu’elle y a deux points (5). Celte surface est illimitée ; toutefois, pour la représenter, on est obligé de lui assigner des limites; on représente un plan par une figure tracée dans ce plan, le plus souvent par un parallélogramme.

488. Il résulte de la définition du plan qu’une droite et un plan ne peuvent offrir que trois positions relatives :

i° La droite a deux points colnmuns avec le plan, et alors elle y est contenue tout entière.

2° La droite n’a qu’un point commun avec le plan; on dit alors que la droite et le plan se coupent.

3° La droite n’a aucun point commun avec le plan; on dit alors que la droite et le plan sont parallèles .

Fig. 275.

Quand une droite CC' et un plan P se coupent [fig. 275),

R. et de C. — Tr. de Géom. (II0 Partie).

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

leur point commun D divise la droite CC' en deux parties DC et DC', situées départ et d’autre du plan; cela résulte de ce que la droite et le plan sont indéfinis.

THÉORÈME

489. i° Deux plans P et Q, qui ont un point commun K, ont une droite commune passant parce point.

2° Deux plans P et Q, qui ont en commun une droite AB et un point C extérieur à cette droite , coïncident dans toute leur étendue.

En effet:

i° Par le point À commun aux deux plans P et Q [fig. 276), menons dans le plan 0 deux droites quelconques LAL', NAN'. Si l’une de ces droites a, avec le plan P, un point commun autre que A, elle appartient tout entière à ce plan; elle est donc commune aux deux plans P et Q, et le théorème est démontré.

Fig. 276. Fig. 277.

Supposons donc que les droites LAL', NAN' coupent l’une et l’autre le plan P, et prenons un point quelconque E sur la partie de la droite LAL' qui est au-dessus du plan P, et un point quelconque F sur la partie de la droite NAN', qui est au-dessous du plan P. La droite EF, passant d’un côté à l’autre du plan P, coupe ce plan en un point I; par suite, la droite Al est commune aux deux plans P et Q, puisqu’elle a deux points A et I dans chacun d’eux.

20 Par le point C et par deux points E et F, pris à volonté sur AB [fig. 277), menons les droites indéfinies CE et CF; ces deux droites appartiendront, comme la droite AB, aux deux plans P et Q, puisque chacune d’elles a deux points dans