LIVRE V

LE ELAN

499. L’intersection de deux plans parallèles à une même droite est parallèle à cette droite ; car, si par un point commun aux deux plans on mène la parallèle à la droite considérée, cette parallèle doit appartenir à chacun des deux plans (497)*

500. Deux plans conduits par deux droites parallèles peuvent être considérés comme parallèles à une droite quelconque parallèle aux deux premières (497); on a donc cette proposition comme cas particulier de celle qu’on vient d’énoncer : L’intersection de deux plans conduits par deux droites parallèles est parallèle à ces droites.

THÉORÈME

501. Si deux plans P et Q sont parallèles : i° toute droite I) qui coupe le premier P coupe le second Q ; i° tout plan U qui coupe le premier P coupe le second Q.

En effet [fi g, 281) :

Fig. 28 r.

i° Par un point quelconque I du plan Q et par la droite D qui coupe le plan P en C, concevons un plan R; ce plan ayant un point commun avec chacun des deux premiers coupera ceux-ci suivant deux parallèles CE et Fl (495). Or Cl) coupe CE; elle coupe donc sa parallèle FI et, par suite, le plan Q.

20 Menons dans le plan R, qui coupe le plan P suivant CE, une droite CD non parallèle à CE. Cette droite CD coupant le plan P coupera le plan Q (i°); donc le plan R coupe le plan Q.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

502. Si deux plans sont parallèles, toute droite parallèle au premier ou contenue dans le premier est parallèle au second ou contenue dans le second ; car, si elle coupait le second plan, elle couperait aussi le premier.

503. Si deux plans sont parallèles , tout plan qui est parallèle au premier est parallèle au second ou coïncide avec le second ; car, s’il n’en était pas ainsi, il couperait ce second plan (4-91), et, par suite, il couperait aussi le premier.

504. Par un point A extérieur à un plan B'A'C', on peut toujours mener un plan parallèle à ce plan, et Von lien peut mener qu un [fl g. 282).

En effet, menons par À deux droites AB et AC parallèles au plan B'A'C'. Le plan BAC sera parallèle au plan B'A'C'; car, s’il le rencontrait, leur intersection devrait être parallèle à la fois à AB et à AC (495); ce qui est impossible. De plus, tout plan autre que BAC mené par A coupe le plan B'A'C', puisqu’il coupe le plan BAC qui est parallèle à B'A'C' (501).

ScOLIE.

505. Si, par un point A extérieur à un plan O, on mène des droites parallèles à ce plan, le lieu de ces parallèles est le plan P mené par A, parallèlement au plan Q.

Car toute parallèle au plan Q, menée par A, doit être située dans le plan P ou être parallèle à ce plan (502); or c’est le premier cas qui a lieu, puisque la droite considérée a déjà un point A commun avec le plan P.

THÉORÈME

506. Deux angles qui ont leurs côtés respectivement parallèles sont égaux ou supplémentaires, et leurs plans sont parallèles [flg. 282).

i° Les plans des deux angles sont parallèles en vertu du n° 504.

20 Deux angles BAC, B'A'C', dont les côtés AB et A' B', AC et A'C', sont deux à deux parallèles et de même sens, sont