II. — DROITES ET PLANS PARALLÈLES

THÉORÈME

490. Si deux droites AB et CD sont parallèles , tout plan P qui coupe l'une AB coupe l'autre CD [fi g. 280).

En effet, puisque la droite AB coupe le plan P, le plan ABCD des deux parallèles et le plan P se rencontrent suivant une droite BX qui, coupant AB, coupe sa parallèle CD (60). Par suite, CD a un point commun avec le plan P, et elle ne saurait en avoir d’autre, sans quoi elle coïnciderait avec BX et ne serait pas parallèle à AB.

Corollaires.

497. Si deux droites sont parallèles, tout plan qui contient la première, ou qui lui est parallèle, contient la seconde ou lui est parallèle ; car, s’il n’en était pas ainsi, il couperait celle seconde droite (488), et, par suite, il couperait la première.

498. Si deux droites A et B sont parallèles, toute droite C parallèle à la première A est parallèle à la seconde B ou coïncide avec elle.

D’abord, si C ne coïncide pas avec B, ces deux droites n’ont aucun point commun, sans quoi, par ce point, on pourrait mener deux parallèles à A. Pour prouver que les droites C et B sont alors parallèles, il suffit de montrer qu’elles appartiennent à un même plan, c’est-à-dire que le plan déterminé par la droite C et un point de B contient cette droite B. Or, si ce plan coupait B, il couperait sa parallèle A, et, coupant A, il couperait sa parallèle C, tandis qu’il la contient.

On énonce ordinairement cette proposition d’une manière plus rapide, mais incomplète, en disant : Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles.