LIVRE V

LE PLAN

et qui les rencontre aux points cl et d' ; prolongeons AB, de l’autre côté du plan P, d’une longueur BA'= AB, et joignons chacun des points A et A' aux trois points d, d, d1 .

De l’égalité des triangles AB d et A' B d et de celle des triangles AB d' et A'B<i', on déduit respectivement Ad = A' cl et A d'= AV/'. Les deux triangles A dcl' et A' ciel' sont donc égaux. Cette égalité entraîne l’égalité des angles Acl d, AV/<5;par suite, celle des triangles A d à, A' cl à; et, enfin, celle des longueurs

IA d et A' à.

La droite Bô ayant deux de ses points, B et ê, également distants des extrémités A et A', est perpendiculaire sur le milieu B de AA', et AB, à son tour, est perpendiculaire sur Bô.

Scolie.

515. Le point B où la perpendiculaire AB rencontre le plan P est le pied de la perpendiculaire.

Une droite est dite oblique à un plan, lorsqu’elle rencontre ce plan sans lui être perpendiculaire.

THÉORÈME

516. Par un point donné A, on peut toujours mener un plan perpendiculaire sur une droite donnée XY, et l’on ne peut en mener qu’un.

i° Supposons le point A situé sur la droite XY [fig. *286). Dans deux plans différents passant par XY, menons à cette

Fig. 286.

droite les perpendiculaires AB et AC; elles détermineront un plan P, perpendiculaire à XY au point A (514).

Il n’existe pas d’autre plan perpendiculaire à XY au point A. En effet, tout plan mené perpendiculairement à XY par le point A doit couper le plan XAB suivant la perpendiculaire AB

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

à XY (512), et le plan XAC suivant la perpendiculaire AG à cette même droite; il ne diffère donc pas du plan P.

2° Supposons le point A extérieur à la droite XY ( fig . 287). Soit UZ la parallèle à XY menée par A. Les droites paral-

Fig. 287.

lèles XY et UZ ayant leurs plans perpendiculaires communs (513), dire que par le point A on peut abaisser un plan perpendiculaire sur XY et qu’on ne peut en abaisser qu’un, c’est dire que, par le point A, on peut élever un plan perpendiculaire sur UZ et qu’011 ne peut en élever qu’un; or c’est ce que nous venons d’établir (i°).

Corollaire.

517. Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles ou coïncident ; car s’ils se coupaient, d’un point de leur intersection, on pourrait mener deux plans perpendiculaires sur la même droite, ce dont nous venons de démontrer l'impossibilité.

THÉORÈME

518. Par un point donné A, on peut toujours mener une droite perpendiculaire à un plan donné P, et Von ne peut en mener quune.

i° Supposons le point A situé dans le plan P [fig. 288). Considérons à part une droite OH et le plan Q élevé perpendiculairement à cette droite par l’un de ses points H; puis, transportons cette figure tout d’une pièce, de manière que, le plan Q s’appliquant sur le plan P, le point II coïncide avec le point A. La droite OH, dans sa nouvelle posi-