LIVRE V

par le point À est le plan mené par ce point perpendiculairement à XY.

THÉORÈME

523. Si, cl’ un point A pris hors d’un pian P (fig. 292), on mène à ce plan la perpendiculaire AB et diverses obliques AC, Al), AE :

i° Deux obliques AC et AI), dont les pieds C et D s’écartent également du pied B cle la perpendiculaire , sont égales,

2° La perpendiculaire AB est plus courte que toute oblique AC, et, de deux obliques AC et AE, l’oblique AE, qui s’écarte le plus du pied de la perpendiculaire, est la plus longue.

En effet :

i° Les deux triangles rectangles ABC et ABD étant égaux, comme ayant les deux côtés de l’angle droit respectivement égaux, les hypoténuses AC et AD sont égales.

2° En prenant Bl) = BC, on a, en vertu de l’alinéa précédent, AC = AD, et, par la Géométrie plane, AE > AD > AB; on a donc AB << AC et AE >> AC.

52 h. Les réciproques de ces propositions sont vraies, il en résulte que le lieu des points d'un plan P situés à égale distance d’un point donné A est une circonférence ayant pour centre la projection B de ce point sur le plan [fig. 292). De là,

Fig. 292.

an moyen pratique pour abaisser une perpendiculaire sur un plan P par un point extérieur A : on fixe au point A l une des extrémités d’un fil dont l’autre extrémité est armée d’un crayon, on marque trois points C, D, F sur le plan en tenant le fil tendu, on cherche le centre du cercle qui passerait par ces trois points, et l’on a le* pied de la perpendiculaire demandée.

R. et de G. — Tr. de Géom, (IIe Partie).

SGOLIES.

525. En Géométrie, le mot distance est toujours synonyme de plus courte distance. D’après cela, il résulte du n° 523 que la distance d’un point A à un plan P est la longueur de la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan.

Si l’on rapproche ce résultat des nos 509 et 519, on voit que : i° une droite et un plan parallèles sont partout équidistants ; in deux plans parallèles sont partout équidistants .

§ IV. — PROJECTION D’UNE DROITE SUR UN PLAN. - ANGLE D’UNE DROITE ET D’UN PLAN. - PLUS COURTE DISTANCE DE DEUX DROITES.

DÉFINITIONS

526. On appelle projection d’un point A sur un plan P le pied a de la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan

[fis- 293)-

La projection d’une ligne quelconque ABC... sur un plan P est le lieu des projections a , b, c, ... des divers points de celte ligne.

Fig. 29.3. Fig. 29V

THÉORÈME

527. La projection d’une ligne droite AB sur un plan P est une ligne droite ( Jîg . *294).

Car toutes les perpendiculaires A a, B b, ... abaissées sur le plan P par les divers points de la droite AB sont parallèles (519) ; leur lieu est donc un plan (492), et, par suite, le lieu de leurs pieds est la droite ab suivant laquelle ce plan coupe le plan P.

Scolies. *