LIVRE V

plan P, sa projection sur ce plan se réduit évidemment à un point e.

529. Lorsque la droite est, comme CD, parallèle au plan P, elle est parallèle à sa projection cd sur ce plan (495).

Corollaires.

530. Les projections ab et cd de deux droites parallèles AB et CD, sur un même plan P, sont parallèles ( fig . 295).

Fig. 29.5.

Car la projetante A a d’un point quelconque de AB et la projetante Ce d’un point quelconque de CD étant parallèles, les angles BA#, DC c ont leurs plans parallèles (506) ; et, par suite, les droites ab et cd , suivant lesquelles le plan P coupe ces deux plans, sont parallèles.

THÉORÈME

531. Lorsque deux droites AB et CD de l'espace sont perpendiculaires lune à l'autre, leurs projections ab et cd sur un plan P parallèle à l'une et’ elles CD sont aussi perpendiculaires entre elles (fig. 296).

Fig. 296. Fig 297.

En effet, la droite cd est, comme sa parallèle CD, à angle droit sur AB ; elle est d’ailleurs à angle droit sur la projetante A a, droite perpendiculaire au plan P qui contient cd»

20 GÉOMÉTRIE DANS L? ESPACE

Donc, cd est perpendiculaire au plan AB ab et, par suite, à ab.

532. Réciproquement, deux droites de l’espace AB et CD sont perpendiculaires l’une à Vautre, si leurs projections ab et cd sur un plan P parallèle à l’une d’elles CD sont perpendiculaires entre elles ( fi g. 296).

En effet, la droite cd, étant à angle droit sur ab et sur A a, est perpendiculaire au plan AB ba. II en est donc de même de sa parallèle CD, qui, par suite, est perpendiculaire à AB.

Dans le cas très-particulier où le plan P contient Cl) et où les droites AB et CD se coupent, cette réciproque revient au théorème connu sous le nom de théorème des trois perpendiculaires:

Si du pied a d’une perpendiculaire Au à un plan P on mène la perpendiculaire aV> sur une droite quelconque CD tracée dans ce plan, la droite AB qui joint au point B un point quelconque de la perpendiculaire A a est perpendiculaire à CD [Jig. 297).

Il y a une seconde réciproque que nous nous contenterons d’énoncer : Si deux droites rectangulaires ont leurs projections rectangulaires, l’une d’elles au moins est parallèle au plan de projection.

Corollaire.

533. Considérons une droite quelconque AB et un plan Q perpendiculaire à celte droite; soient ab la projection de AB sur un plan quelconque P [Jig. 298), et CD l’intersection des

Fig. 298.

plans P et Q, ou la trace du plan Q sur le plan P. Les deux droites AB et CD étant perpendiculaires l’une à l’autre, il doit en être de même de leurs projections ab et CD; de là ce théorème, fondamental en Géométrie descriptive : Lorsqu’une droite est perpendiculaire èi un plan Q, sa projection sur un

U VUE v.

LE l'LAN.

plan quelconque P est perpendiculaire à la trace du plan Q sur le plan P.

THÉORÈME

534. Lorsqu une droite AB est oblique à un plan P, l’angle aigu BA b que cette droite fait avec sa projection sur ce plan est moindre que l’angle BAC quelle forme avec toute autre dioite AC passant par son pied dans le plan [Jig. “299).

Fig. 299.

En effet, b étant la projection d’un point quelconque B de la droite AB, prenons AC — A b et menons BC. Les deux triangles BAô, BAC ont deux côtés égaux; mais le troisième côté B b du premier étant moindre que le troisième côté BC du second, puisque la perpendiculaire est plus courte que l’oblique, il faut que l’angle BA6 soit moindre que l’angle BAC.

Scolie.

535. En faisant parcourir au point C le cercle décrit dans le plan P, du point A comme centre avec A b pour rayon, on voit que l’oblique BC croît d’une manière continue depuis le point b jusqu’au point b' , puis décroît en reprenant successivement les mêmes valeurs depuis b' jusqu’en b. Par suite, l’angle BAC, minimum lorsque le point C est en b , croît jusqu’à ce que le point C soit en b1 : il est alors maximum; puis il décroît, en reprenant successivement les mêmes valeurs, depuis 6' jusqu’en b.

53G. On appelle angle d’une droite et d’un plan l’angle aigu que cette droite forme avec sa projection sur ce plan.

537. On voit aisément que l’angle d’une droite I) et d’un plan P est égal à l'angle d’une droite quelconque ])' parallèle à 1) et d’un plan quelconque P' parallèle à P.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

THÉORÈME

538. Étant données deux droites A B et CD non situées dans le même plan : \° il existe une droite , et une seule , qui les rencontre l’une et l’autre à angle droit ; i° cette perpendiculaire commune est la plus courte distance des deux droites {ftg. 3oo).

Fig. 3oo. Fig. 3ou

En effet :

i° Par un point quelconque A de AB, menons la parallèle AE à CD; le plan BAE, que nous désignerons par P, sera parallèle à CD; par suite, nous aurons la projection de CD sur ce plan P en menant une parallèle de à la droite DC par la projection d d’un point quelconque D de cette droite. Cela posé, pour qu’une droite rencontre à la fois AB et CD à angle droit, il faut et il suffit qu’elle soit perpendiculaire au plan P en un point de AB, et qu’elle ait son pied sur cd, lieu des pieds des perpendiculaires au plan P menées par des divers points de CD. Or la perpendiculaire au plan P élevée par le point c commun à AB et à cd remplit seule ces conditions. Il existe donc une droite Ce, et une seule qui rencontre à angle droit les deux droites données AB et CD.

2° Cette perpendiculaire commune Ce est moindre que toute autre droite BD joignant un point de AB à un point de CD. Car, T)d étant la projetante du point D, on a évidemment C e = D d et D d DB .

ScOLIES.

539. La démonstration qui précède permet d’obtenir la plus courte distance des deux droites AB et CD. Voici un second procédé très usuel ( fig. 3oi).

On projette Tune des droites CD sur un plan P perpendiculaire à l’autre droite AB. Du pied A de AB sur le plan P, on