LIVRE V

LE PLAN

sont supplémentaires, il suffit de prouver qu’ils sont toujours d’espèce différente, c’est-à-dire l’un aigu, l’autre obtus. Or, cela résulte de la direction que l’énoncé impose aux perpendiculaires OA' et OB'. En effet, si l’angle AOB est aigu [fig. 328), l’angle A'OB' renferme l’angle droit A OA' et, par suite, est obtus; si l’angle AOB est obtus [fig. 329), l’angle A'OB' est contenu dans l’angle droit AOÀ' et, par suite, est aigu.

Cela posé, revenons aux trièdres supplémentaires SABC, SA'B'C' {fig. 327), et considérons, par exemple, le dièdre SC. La droite SB' est une perpendiculaire à la face CSA de ce dièdre du côté de SB, et par suite du côté de l’autre face CSB; de même, SA' est une perpendiculaire à la face CSB du dièdre, du côté de la face CSA; donc, l’angle A' S B' est le supplément de l’angle qui mesure le dièdre SC ou, plus brièvement, le supplément du dièdre SC. On procéderait de même pour les dièdres SA et SB.

Puisque les deux trièdres SABC, SA'B'C' se déduisent l’un de l’autre par la même construction, il est clair que la propriété qui vient d’être établie pour les dièdres du premier s’étend aux dièdres du second. D’ailleurs, la démonstration serait la même.

C’est en raison de celte double propriété que les deux trié— dres ont été appelés supplémentaires.

SCOL’E.

574. Désignons par a , c les nombres qui mesurent les faces, et par A, B, C les nombres qui mesurent les angles dièdres d’un angle trièdre, langle droit étant pris pour unité d’angle. Les nombres b\ c', qui mesureront les faces, et ceux A', B', C'qui mesureront les angles dièdres du trièdre supplémentaire, seront donnés par les formules

Si l’on connaît une propriété quelconque d’un angle trièdre, c’est-àdire une relation entre les éléments a, b , c, A, B, C de cette figure, en appliquant cette relation aux éléments a[, b', c' , A', B', C' du trièdre supplémentaire, puis en remplaçant ces éléments par leurs valeurs tirées des

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

formules précédentes, on aura une relation nouvelle entre <7, b, c, A, B, C, ! c’est-à-dire une nouvelle propriété du trièdre primitif.

De même, toute propriété relative à plusieurs trièdres conduira, par la 1 considération des trièdres supplémentaires des proposés, à une propriété ! nouvelle de ce système de trièdres.

On conçoit par là l’importance du théorème précédent. Voici d’ail- : leurs quelques applications de la méthode générale que nous venons d’indiquer.

575. Nous avons vu (570) que la somme des faces d’un trièdre était S toujours comprise entre zéro et quatre angles droits. Cherchons le théorème correspondant, ou, comme on dit, le théorème corrélatif. Considé- j rons à cet effet le trièdre supplémentaire du proposé; a\ b ', c' étant scs faces, on a

Par suite, A, B, C étant les dièdres du trièdre proposé, 011 a

o < ( 2 A ) -+- ( 2 B ) -4- ( 2 C ) < 4 ? ou

Ainsi, la proposition demandée est la suivante : Bans tout trièdre, la somme des angles dièdres est comprise entre deux droits et six droits.

Nous avons vu encore (5C7) que, dans tout trièdre, la plus grande face est moindre que la somme des deux autres : quel est le théorème corrélatif?

Soient afb', c' les faces du trièdre supplémentaire du trièdre considéré. a' étant la plus grande, on a

par suite, si A, B, C sont les dièdres du trièdre proposé, on aura

2 — A <(2 — B) h- (2 — C), ou A + 2>B + C.

D’ailleurs, le supplément d’un angle diminuant quand cet angle augmente, À doit être le plus petit des dièdres A, B, C, puisque a' est la plus grande des faces a\ b\ c'. Donc, enfin, la proposition demandée est la suivante : Dans tout trièdre, le plus petit angle dièdre, augmenté de deux droits, est plus grand que la somme des deux autres dièdres.

576. En résumé, pour qu’on puisse former un angle trièdre avec trois dièdres donnés A, B, C. il faut que leur somme soit comprise entre deux droits et six droits, et que le plus petit augmenté de deux droits soitsupérieur à la somme des deux autres.