LIVRE V

LE PLAN

THÉORÈME

572. Si un angle trièdreSk'B' C'est le trièdre supplémentaire d'un angle trièdre donné SABC, réciproquement SABC sera le trièdre supplémentaire de SA'B'C'.

Pour bien comprendre la définition du trièdre supplémentaire et l’objet du présent théorème, il convient de faire une remarque. Par un point O d’un plan P, menons une perpendiculaire OM à ce plan cl une oblique ON. Si les deux droites OM et ON sont d’un même côté du plan P, l’angle MON qu’elles forment est aigu (fig. 324), car il est compris dans l’un des angles droits MOT ou MOT' que fait la perpendiculaire OM avec la trace TOT' du plan MON sur le plan P. Si les deux droites OM et ON sont situées de part et d'autre du plan P,

l’angle MON est obtus ( fg . 325), car il contient l’un des angles MOT ou MOT'. Donc, réciproquement, suivant que l’angle MON est aigu ou obtus, on peut affirmer que la perpendiculaire OM et l’oblique ON sont d’un meme côté du plan P ou de part et d’autre de ce plan.

Cela posé, on nomme trièdre supplémentaire d’un trièdre SABC (fig. 326) un nouveau trièdre SA'B'C' formé de la manière suivante :

Par le sommet S, on élève une perpendiculaire SC' à la face ASB, du même côté que SC par rapport au plan de celte face; on mène SB' perpendiculaire à la face ASC, du même côté que SB par rapport au plan ASC, et l’on trace enfin SA' perpendiculaire à la face BSC, du même côté que SA par rapport au plan BSC.

Il s’agit maintenant de démontrer que le trièdre SABC ré-

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

/jO

suite du trièdre SA'B'C', comme celui-ci du premier; ou, en d’autres termes, que l’arête SC, par exemple, est perpendiculaire à la face A'SB' et du même côté que SC' par rapport au plan de cette face. Or, par hypothèse, SA' est perpendiculaire au plan CBS et par suite à SC; de même, SB' est perpendiculaire à SC; donc SC est perpendiculaire au plan A'SB'. De plus, SC' ayant été menée perpendiculairement au plan ASB et du côté de SC, l’angle CSC' est aigu; par suite, la perpendiculaire SC au plan A'SB' et l’oblique SC' formant un angle aigu, ces deux droites sont situées d’un même côté par rapport à ce plan A'SB'.

THÉORÈME

573. Si SABC et SA'B'C' sont deux trièdres supplémentaires, chaque angle dièdre de l’un de ces trièdres est le supplément de la face opposée dans Vautre (jig- 327).

La démonstration est fondée sur la remarque suivante :

Lorsque, par un point O pris sur V arête d'un angle dièdre 01, on élève sur la face IOA une perpendiculaire OA' du même côté du plan IOA que la face 10B, et sur la face IOB une perpendiculaire OB' du même côté du plan IOB que la face IOA, l’angle A' OB' est le supplément de l’angle plan AOB qui mesure le dièdre {fi g- 328, 329).

Les quatre droites OA, OB, OA', OB', sont dans le plan perpendiculaire à 01 mené par 0; d’ailleurs, OA' perpendiculaire au plan IOA doit être perpendiculaire à OA, et de même OB' doit êire perpendiculaire sur OB; les angles AOB, A' OB' sont donc deux angles situés dans un même plan et ayant leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun; pour prouver qu’ils