Deux angles trièdres sont égaux

i° Lorsqu ils ont une face égale adjacente à deux angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés;

2° Lorsqu ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égalés chacune à chacune et semblablement disposées ;

3° Lorsqu ils ont leurs faces égales chacune à chacune et semblablement disposées ;

4° Lorsqu 1 ls ont leurs angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés .

i° Soient les deux trièdres SABC et S'A'B'C' {fi g. 33o). Par Hypothèse, la face ASB est égale à la face A'S'B', les angles

Fig. 33o.

dièdres SA et S'A' sont égaux entre eux, ainsi que les dièdres SB et S'B'. On suppose en outre que la disposition est la même, c’est-à-dire que, si un observateur dont la tête est en S, le dos appuyé sur la face ASB et le regard dirigé vers SC, a l’arête SA à sa gauche et l’arête SB 5 sa droite, un autre observateur, dont la tête serait en S', le dos appuyé sur la face A'S'B' et le regard dirigé vers S'C', aurait l’arête S'A' à sa gauche et l’arête S'B' à sa droite.

Dans ces conditions, les deux trièdres sont égaux, c’est àdire superposables. En effet, si l’on place la face A' S' B' sur son égale ASB, de façon que S'A' coïncide avec SA et S'B' avec SB,

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

l’arête S'C' tombe, par rapport au plan ASB, du même côté que SG, sans quoi la disposition des éléments serait différente dans les deux trièdres. Alors, les dièdres SA et S'A' étant égaux, le plan A'S'C' s’applique sur le plan ASC; de môme, les dièdres SU et S' B' étant égaux, le plan B' S'C' s’applique sur le plan BSC; donc, enfin, les arêtes S'C' et SC se confondent et

les deux trièdres coïncident.

20 Le deuxième cas résulte du précédent, dont il est le corrélatif (575). En effet, les deux trièdres supplémentaires des proposés ont une face égale adjacente à deux dièdres respectivement égaux et semblablement disposés; ils sont donc superposables et, par suite, il en est de même des trièdres pri¬

mitifs.

D’ailleurs, la démonstration directe n’offre aucune difficulté; on voit, par un raisonnement analogue au précédent ( i°), que la superposition est possible, si, conformément à l’hypothèse, la disposition des éléments est la même.

3° Pour le troisième cas, on pourrait prouver par l’absurde que le dièdre SB, par exemple, est égal au dièdre S'B', en s’appuyant sur le second théorème énoncé au n° 56J.

Voici d’ailleurs une démonstration directe :

Soient SABC et S'A'B'C' les deux trièdres; il suffit évidemment de démontrer l’égalité de deux dièdres homologues, des dièdres SA et S'A', par exemple.

Supposons d’abord que les deux faces ASB, ASC, qui comprennent le dièdre SA, soient deux angles aigus. En un point quelconque O de l’arête SA, formons (fig. 33 1 ) l’angle plan

Fig. 33 i.

correspondant à l’angle dièdre SA; en d’autres termes, élevons par le point O des perpendiculaires sur SA dans les plans ASB