LIVRE V

LE PLAN

el ASC; les angles ASB el ASC étant aigus, ces perpendiculaires rencontrent les arêtes SB et SC en deux points M et N que nous joindrons par une ligne droite. Prenons S' O' = SG et construisons de même en O' l’angle plan M'O'N' du dièdre S' A'. Il s’agit de démontrer l’égalité des deux angles plans MON et M'O'N'. Or les deux triangles rectangîcsSOM, S'O'M' sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux : il en est de même des triangles SON et S'O'N'; par suite, les deux triangles SMN, S'M'N' ont un angle égal compris entre deux côtés égaux, et enfin les deux triangles OMN, O'M'N' ont les trois côtés égaux chacun à chacun. L’égalité de ces derniers triangles entraîne celle des deux angles MON, RI' O' N'.

Supposons en second lieu que les deux angles ASB el ASC, qui comprennent le dièdre SA, soient quelconques, et prenons six longueurs égales SA = SB = SC — S'A' = S'B' = S' C',à partir des sommets, sur les arêtes des deux trié dres (fig. 33,.).

Fi?î. 33a.

Les triangles isocèles ASB et A' S' B', BSC et B'S'C', CSA et C'S'A'sont égaux deux à deux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux; par suite, les triangles ABC, A'B'C' sont égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun. D’après cela, les deux trièdres A et A' ont leurs faces respectivement égales; d’ailleurs, les angles SAB, SAC, qui comprennent le dièdre AS, sont aigus comme angles à la base de triangles isocèles; donc, en vertu du raisonnement fait dans l’alinéa précédent, le dièdre AS est égal au dièdre A S'.

4° Le dernier cas résulte du précédent dont il est le corrélatif. En effet, les deux trièdres supplémentaires des proposés ont leurs faces respectivement égales et semblablement disposées; ils sont donc superposables, et, par suite, il en est de même des trièdres primitifs.

GÉOMÉTRIE DANS L'ESTA G

ScOLIE .

578. Si, dans chacun des quatre cas examinés, la disposition des éléments égaux était différente dans les deux trièdres, il n’y aurait plus égalité, mais seulement symétrie. En effet, soient T et T' les deux trièdres proposés, et T, le symétrique de T, c’est-à-dire celui que l’on déduit de T en prolongeant ses arêtes au delà du sommet(/g. 33o). Les trièdres T et T, ont leurs éléments égaux et inversement disposés; par suite, comme T et T' remplissent par hypothèse toutes les conditions de l’un des cas d’égalité, sauf celle relative à la disposition des parties égales, les trièdres T' et T, satisferont à toutes les conditions de ce cas d’égalité : ils seront donc superposables ; d’où l’on voit que T' est alors superposable au symétrique de T.

579. Nous avons suffisamment signalé dans le courant de ce ; paragraphe l’analogie entre certaines propriétés des trièdres et j des triangles rectilignes. 11 importe toutefois d’observer en ter- ! minant que, si, à toute propriété des triangles répond une pro- 1 priété des trièdres, la réciproque n’est pas vraie; par exemple, j tandis que l’égalité des angles dièdres de deux trièdres entraîne i Légalité de leurs faces, l’égalité des angles de deux triangles n’entraîne que la proportionnalité des côtés.