II. - VOLUME DU PRISME

DÉFINITIONS

611. On appelle volume d’un polyèdre l’étendue du lieu qu’il occupe dans l’espace indéfini.

Quand deux polyèdres peuvent coïncider, ils sont égaux. Quand deux polyèdres ont des volumes égaux sans pouvoir coïncider, on dit qu’ils sont équivalents.

Pour démontrer que deux polyèdres convexes coïncident, il suffit de prouver qu’ils ont les mêmes sommets.

612. Si l’on détache une portion d’un prisme par un plan incliné à sa base, le polyèdre restant est un prisme tronqué. La section obtenue est la base supérieure du tronc de prisme.

THÉORÈME

613. Deux prismes droits de même base et de même hauteur sont égaux.

Car, si l’on fait coïncider les bases inférieures de ces prismes, leurs arêtes latérales prendront deux à deux la même direc-

GÉ031ÉTR1E DANS L’ESPACE

îion (518), et comme elles sont égales à la hauteur donnée, les bases supérieures des deux prismes coïncideront aussi.

ScOLIE.

614. La démonstration précédente s’applique au cas de deux prismes droits tronqués de meme base, lorsque leurs arêtes latérales sont égales deux à deux.

THÉORÈME

615. Tout prisme oblique est équivalent au prisme droit ayant pour base la section droite du prisme oblique et pour hauteur son arête latérale.

Soit ( fig . 346) le prisme oblique ABCDEFGII1K ou AH. Par un point G' de l’arête BG, menons la section droite F' G'H'I'K'.

Prolongeons l’arête BG au-dessous de la base ABCDE d’une longueur BB'=GG', et parle point B' menons un plan parallèle au plan de la section droite. Les intersections de ce plan avec les arêtes latérales du prisme prolongées détermineront un polygone A'B'C'D'E' égal (606) au polygone F' G'H'I'K'. La figure A'B'C'D'E'F'G'H'I'K' ou A' il' sera donc un prisme droit ayant pour base la section droite du prisme oblique Ail et pour hauteur son arête latérale BG; car on a B'G' = BG, puisque, par construction, BB' = GG'.

Ceci posé, le volume compris entre la base inférieure du prisme oblique Ail et la base supérieure du prisme droit A' II' est commun aux deux prismes. Pour démontrer l’équivalence de ces deux prismes, il suffit donc de démontrer l’égalité des deux