LIVRE VI. — LES POLYÈDRES

polyèdres ou prismes droits tronqués (612) A'B'C'D'E' ABCDE ou A'C et F' G' IF I'K'FGHIK ou F H. Cette égalité résulte immédiatement de la remarque faite au n° 014 ; car les deux bases A'B'C'D'E', F'G'H'l'K' sont égales, ainsi que les arêtes correspondantes A' A etF'F, 13' B et G' G, etc. A' A, par exemple, est l’arête latérale ou la hauteur du prisme droit A' H', diminuée de AF', et F' F est l’arête latérale du prisme oblique Ail, diminuée de la même quantité.

THÉORÈME

616. Le plan mené par deux arêtes latérales opposées d'un parallélépipède le partage en deux prismes triangulaires équivalents.

Soit [fîg- 34 7 ) le parallélipipède quelconque AG. Le plan AEGC, mené par les arêtes opposées AE et CG, partage ce parallélipipède en deux prismes triangulaires ABCEFG, ACDEGH, dont il s’agit do démontrer l’équivalence.

FiS. 347-

Menons la section droite du parallélipipède AG. Cette section OKLM est un parallélogramme (599); et les deux triangles égaux KLM, KMO, suivant lesquels la diagonale KM la divise, sont respectivement les sections droites des prismes ABCEFG, ACDEGH.

Or, le prisme triangulaire ABCEFG est équivalent au prisme droit ayant pour base KLM et pour hauteur AE ( 015 ) ; de même, le prisme triangulaire ACDEGH est équivalent au prisme droit ayant pour base KMO et pour hauteur AE. Les deux prismes droits énoncés étant égaux (013), les deux prismes triangulaires ABCEFG, ACDEGH sont équivalents, et chacun d’eux est la moitié du parallélipipède AG.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

THÉORÈME

617. i° Si deux parctllélipipèdes rectangles de même base ont des hauteurs égales, ils sont égaux.

2° Si trois parallélipipèdes rectangles de même base sont tels, que la hauteur du premier soit égale ci la somme des hauteurs des deux autres, le premier par allélipipède est égal à la somme des deux autres.

En effet :

i° Soient [fig. 348) les deux parallélipipèdes rectangles AG et A'G', dont les bases ABCD, A'B'C'D' sont égales, ainsi que les hauteurs AE et A'E', ces deux parallélipipèdes rectangles seront égaux comme prismes droits ayant même base et même hauteur (613).

Fig. 348.

2° Soient [fi g. 348) les trois parallélipipèdes rectangles AN, A' G', E"N\ dont les bases ABCD, A'B'C'D', E'7 F" G" H" sont égales, et dont les hauteurs AL, A'E', E"L', satisfont à la condition

AL = A'E'-b E"L' ;

le parallélipipède rectangle AN est égal à la somme des deus autres. Car, si l’on prend sur AL une longueur AE égale à A'E' et qu’on mène par le point E une section EFGII parallèle à la base ABCD, EL sera égale à E"L', en vertu de l’hypothèse énoncée. Par suite, des deux parallélipipèdes rectangles AG, EN, qui composent le parallélipipède rectangle AN, le premier sera égal au parallélipipède rectangle A' G', et le second au parallélipipède rectangle E"N' ( i°).