LIVRE VI. — LES POLYÈDRES

égal au produit de sa base par sa hauteur, lorsqu’on prend pour unité de volume le pa rallélipi pède rectangle ayant pour base l’unilé d’aire quelle qu’elle soit et pour hauteur la longueur prise pour unité de hauteur.

THÉORÈME

624. Le volume d’un parctllélipipède quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Soit (fig. 349) le parallél i pipède quelconque AG ayant pour base ARCD ou EFGH et pour hauteur la perpendiculaire EP abaissée du sommet E sur le plan ABCD. Menons par le point E, dans le plan EFGII, la perpendiculaire EM à IIG. Si

Fig. 349.

l’on prend la face AEHD pour base du parallélipipède proposé (598), son arête latérale sera EF, et sa section droite (607) sera le parallélogramme EMQR déterminé par le plan MEP. Le parallélipipède AG sera donc équivalent au parallélipipède droit RK ayant pour base la section droite EMQR et pour hauteur l’arête EF (615).

Cela posé, reproduisons à part, pour plus de clarté [fig. 349 ) ce parallélipipède droit RK, et construisons un parallélipipède rectangle PK ayant pour dimensions EF, EM, EP. Le parallélipipède droit RK et le parallélipipède rectangle PK ainsi déterminé présentent seulement comme parties non communes les deux prismes droits qui ont pour hauteur EF et pour bases les deux triangles égaux EPR, MVQ. Ces deux prismes étant égaux (613), les deux parallélipipèdes seront équivalents et, par suite, il en sera de même du parallélipipède quelconque AG et du parallélipipède rectangle PK. Donc, R. et de C. — Tr. de Géom. (II» Partie). 5

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

le produit EF.EM.EP, qui exprime la mesure (621) du parallélipipède rectangle FK, mesure aussi le volume du parallélipipède quelconque AG. Or, EF. EM mesure la base EFGII de ce parallélipipède, etEP est sa hauteur.

Donc, enfin, le volume du parallélipipède quelconque AG est égal au produit de sa base par sa hauteur.

THÉORÈME

625. Le volume d'un prisme quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Fig. 35o.

n fi

i° Soit [Jîg. 35o) le prisme triangulaire ABCEFG. Par l’extrémité A de l’arête AB, menons le plan ADHE parallèle à la face BCGF, et par l’extrémité G de l’arête BC le plan CDHG parallèle à la face ABFE; prolongeons en même temps les deux bases du prisme jusqu’à la rencontre de ces plans. On obtiendra ainsi (600) le parallélipipède AG construit sur les trois droites BA, BC, BF. La face ACGE du prisme triangulaire considéré étant un plan diagonal du parallélipipède AG, ce prisme en sera la moitié (616). Donc, le volume du parallélipipède AG ayant pour mesure le produit de sa base ABCD par sa hauteur EP (624), le volume du prisme triangulaire ABCEFG aura pour mesure la moitié de ce produit, c’est-àdire le produit de sa base ABC, moitié du parallélogramme ABCD, par sa hauteur EP.

2° Soit [Jig. 35i) un prisme quelconque ABCDEFGIIIK. On le décompose en prismes triangulaires en faisant passer des plans diagonaux par l’arête AF et chacune des arêtes Cil, DE Ces prismes triangulaires ont pour bases les triangles ABC, ACD, ADE, qui composent la base du prisme donné, et leur

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