LIVRE VI

LES POLYÈDRES

Souvent on effectue la décomposition en prenant pour centre l’un des sommets du polyèdre, c’est-à-dire en menant toutes les diagonales qui partent d’un même sommet.

Si l’on peut trouver dans l’intérieur du polyèdre un point à égale distance de toutes ses faces, les pyramides qui le composeront auront pour hauteur commune la perpendiculaire abaissée de ce point sur l’une des faces, et le volume du polyèdre aura pour mesure le tiers du produit de son aire par cette perpendiculaire .

THÉORÈME

647. Un tronc de pyramide à bases parallèles est équivalent à la somme de trois pyramides ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc , et pour bases respectives les deux bases du tronc et la moyenne proportionnelle entre ces deux bases.

i° Soit {fi g* 36o) le tronc de pyramide triangulaire à hases parallèles ABCDEF.

Fig. 36o.

Les plans AEC, DEC le partagent en trois pyramides triangulaires EABC, EDCF, EDCA, dont nous désignerons les volumes respectifs par P, P', P".

La première EABC a pour base la base inférieure ABC du tronc de pyramide, et elle a même hauteur que ce tronc, puisque son sommet E est un sommet de la base supérieure.

Si l’on prend le point C pour sommet, la seconde pyramide EDCF a pour base DEF la base supérieure du tronc, et elle a même hauteur que ce tronc, puisque son sommet C se confond avec un sommet de la base inférieure.

Pour évaluer la troisième pyramide EDCA, comparons-la successivement aux deux autres.

So

GÉOMÉTRIE DANS l’eSPACE.

Si l’on prend le point C comme sommet commun des deux pyramides EABC, EDCA, elles ont même hauteur et sont entre elles comme leurs bases EAB, ADE; mais ces triangles, dont la hauteur est aussi la même, sont entre eux comme leurs bases AB et DE, et l’on peut écrire