R. II

Donc, toute pyramide est le tiers du prisme de même base et de même hauteur. Deux pyramides quelconques de bases équivalentes et de même hauteur sont équivalentes. Deux pyramides sont entre elles comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur. Deux pyramides de même base sont entre elles comme leurs hauteurs. Deux pyramides de même hauteur sont entre elles comme leurs bases.

G45. Quand un tétraèdre est régulier, son volume s’exprime en fonction de son arête a.

Un tétraèdre régulier est compris sous quatre triangles équilatéraux égaux. Sa base a donc pour expression (427)

eé\/ 3 - — •

Sa hauteur est le côté de l’angle droit d'un triangle rectangle

ayant pour second côté de l’angle droit le rayon du cercle circonscrit au triangle de base, c’est-à-dire et pour hypoté-

mise l’arête a du tétraèdre. Cette hauteur est, par suite,

On a donc, pour le volume du tétraèdre régulier en fonction de son arête,

i as/i a3 ^2

Exemple.

Quel est le volume du tétraèdre régulier dont l’arête est 1 mètre?

On a

1 mc^/ 2 Imc,4i42i36

omc, 1 17 85 e ,

à y centimètre cube près.

646. Pour évaluer le volume d’un polyèdre, il suffit de décomposer ce polyèdre en pyramides, de calculer les volumes de ces pyramides et de faire la somme des nombres obtenus. Plus généralement, il suffit de décomposer le polyèdre proposé en parties telles, que l’expression de leur volume soit connue.

Pour opérer la décomposition en pyramides, on peut choisir un point quelconque dans l’espace et le joindre à tous les sommets du polyèdre. Les bases des différentes pyramides formées sont les faces du polyèdre, et leurs hauteurs sont les perpendiculaires abaissées du point choisi sur ces faces. Le volume du polyèdre est la somme arithmétique ou algébrique des volumes des pyramides obtenues, suivant que leur sommet commun est lui-même intérieur ou extérieur au polyèdre.