LIVRE VI

LES POLYÈDRES

CG9. La figure symétrique d'un plan est un plan.

Car, si l’on prend un point du plan pour centre de symétrie, on retrouve évidemment le plan lui-même pour figure symétrique.

Corollaires.

670. La figure symétrique d'un polygone plan est un polygone égal au premier.

D’abord, c’est un polygone plan (660); il est ensuite égal au premier, parce qu’il a ses côtés et ses angles égaux aux côtés homologues et aux angles homologues de ce polygone (666,667).

671. L'angle de deux plans est égal à l'angle de leurs symétriques.

Car, en prenant pour centre de symétrie un point de l’arêle de l’angle dièdre donné, on voit que les plans symétriques de ses faces forment le dièdre qui lui est opposé par l’arête.

Scolie.

672. Deux plans symétriques par rapport à un centre sont parallèles et équidistants de ce centre.

Deux plans symétriques par rapport à un plan sont également inclinés sur ce plan, qu’ils coupent d’ailleurs suivant la même droite.

THÉORÈME

673. Deux polyèdres symétriques ont : i° leurs faces égales chacune à chacune ; i° leurs angles dièdres homologues égaux ; 3° leurs angles polyèdres homologues symétriques (566).

i° L’égalité des faces homologues résulte du n°670.

2° L’égalité des angles dièdres homologues résulte du

3° Pour montrer clairement la relation qui existe entre un angle polyèdre A de la première figure P et l’angle polyèdre homologue A' de la seconde figure P', il suffit de construire la

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

ligure symétrique de P en prenant pour centre de symétrie le sommet A du premier angle polyèdre. On voit ainsi que l’angle polyèdre A' est l’angle polyèdre opposé par le sommet à l’angle polyèdre A.

THÉORÈME

07V. Deux polyèdres symétriques P et P' sont équivalents .

Si l’on décompose le polyèdre P en tétraèdres, à chacun de ces tétraèdres répond un tétraèdre symétrique, et l’ensemble de ces tétraèdres symétriques forme le polyèdre P'. Deux polyèdres symétriques P et P', étant d’après cela composés d’un même nombre de tétraèdres symétriques deux à deux, il suffit de démontrer que deux tétraèdres symétriques sont équivalents.

Or, soit(/èg. 374) SABC un tétraèdre quelconque. Formons son symétrique SA' B' G' par rapport au point S. Les triangles ABC, A'B'C sont égaux (CTO), et leurs plans sont équidi-

Firj. 374. Fig. 375.

slants du point S(G72). Par suite, les deux tétraèdres SABC, SA'B'C', ayant des bases et des hauteurs égales, sont équivalents.

La symétrie relative à un plan fournirait dans ce cas une démonstration tout aussi simple ; car, comme la propriété dont il s’agit concerne la grandeur et non la situation , on peut prendre à volonté le plan de symétrie (6-62). Or, en construisant (t fig . 375) la figure S' ABC symétrique de SABC par rapport au plan ABC, on voit que les deux tétraèdres SABC,