LIVRE VI. — LES POLYÈDRES. C

Corollaires

GG2. Deux figures symétriques d’une même figure F, par rapport à deux plans différents P et Q, ne sont autre chose, quant à la forme, que la figure symétrique de F par rapporta un centre quelconque (659); elles sont donc superposables. Mais leur orientation dans l’espace n’est pas la meme, à moins que les plans P et Q ne soient parallèles.

GG3. En résumé, si l’on fait abstraction de l’orientation pour n’avoir égard qu’à la forme, on voit qu 'une figure F n a qu'une seule figure symétrique. Toutes les figures obtenues en prenant la figure symétrique de F, par rapport à tel centre ou à tel plan qu’on veut, sont superposables.

Scolie.

GG4. Telle propriété de deux figures symétriques (G58) est plus ou moins aisée à démontrer, suivant que l’on considère la symétrie relative à un plan ou à un centre. Le théorème précédent (G61) permet de choisir le mode de symétrie qui facilite le plus les raisonnements. C’est généralement la symétrie relative à un centre qui rend les démonstrations plus simples, parce qu’en déplaçant le centre de symétrie on n’altère pas même l'orientation de la figure symétrique (GGO).

THÉORÈME

GG5. la figure symétrique d'une ligne droite est une ligne droite.

Car, si l’on prend un point quelconque de la droite pour centre de symétrie, ce qui ne peut rien changer au résultat (GGO), on retrouve évidemment la droite elle-même pour figure symétrique.

Corollaires.

G6G. La distance de deux points est égale à celle de leurs symétriques.

Car, si l’on prend pour centre de symétrie le milieu de la droite qui joint les deux points, on voit que ces deux points ne font que s’échanger.

GÉOMÉTRIE DANS l/ESPACE.

CGT. L’angle de deux droites est égal à l'angle de leurs symétriques.

Car, en prenant pour centre de symétrie le sommet de cet angle, on voit que les droites symétriques forment l’angle qui lui est opposé par le sommet.

Scolie.

668. 11 importe de se figurer nettement la situation de deux droites symétriques par rapport à un centre ou par rapport à un plan.

Soit AB (fig. 372) une droite dont on veut la droite symétrique par rapport à un centre donné O'. Prenons d’abord la

droite symétrique de AB par rapport à son milieu O : le point A aura son symétrique en B, et le point B son symétrique en A; de sorte que la droite symétrique de AB, par rapport à son milieu O pris pour centre, sera BA. Pour passer ensuite du centre O au centre O', il suffira (659) de faire décrire aux points A et B des droites BA' et AB' parallèles à 00' et doubles de 00'. On trouve ainsi, pour symétrique de AB, la droite A' B' parallèle à AB, de sens contraire, et située à la

même distance du centre 0' de symétrie.

Soit OA [fig, 378) une droite dont on veut la droite symétrique par rapport à un plan P qu’elle rencontre en 0. En prenant d’abord la droite symétrique de OA par rapport au point 0, on trouve son prolongement OA', et il suffit (661) de faire tourner OA' de 180 degrés autour de la perpendiculaire OB au plan P, pour avoir la droite OA" demandée. On voit que les deux droites OA et OA", symétriques par rapport au plan P, sont également inclinées sur ce plan, qu elles rencontrent d’ailleurs au même point 0.