VI. - POLYÈDRES SEMBLABLES

DÉFINITIONS

676. On donne le nom -de polyèdres semblables aux polyèdres qui ont leurs angles polyèdres égaux et qui sont compris sous un même nombre de faces semblables chacune à chacune.

L’égalité des angles polyèdres entraîne évidemment l’égalité des angles dièdres homologues.

On appelle homologues les éléments (faces, arêtes, dièdres, etc.) qui se correspondent dans deux polyèdres semblables.

677. Les arêtes homologues de deux polyèdres semblables sont proportionnelles.

Car les faces semblables de ces polyèdres ayant le même rapport de similitude, puisqu’une même arête appartient sur chaque polyèdre à deux faces adjacentes, le rapport de deux arêtes homologues quelconques est constant.

678. En coupant une pyramide par un plan parallèle à la base , on détermine une seconde pyramide semblable à la première.

Soit [fig. 376) la pyramide SABCDE, dans laquelle un plan parallèle à la base a déterminé la section FGHIK. Les deux pyramides SABCDE, SFGHIK ont leurs faces semblables, car

R. et de C. — Tr. de Géom. (IIe Partiel. 7

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

les polygones ABCDE, FGHÏK sont semblables (635), et les faces latérales SAB et SFG, SBC et SGH ..., le sont aussi par

Fig. 3 76.

suite du parallélisme des côtés de ces deux polygones.

Quant aux angles polyèdres, l’angle polyèdre S est commun, et deux angles trièdres homologues, tels que A et F, sont égaux comme ayant un angle dièdre commun compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblablement disposées, savoir : l’angle dièdre SA commun, la face SAB égale à la face SFG et la face SAE égale à la face SFK.

THÉORÈME

679. Deux pyramides triangulaires sont semblables , lorsqu'elles ont un angle dièdre égal compris entre deux faces semblables chacune à chacune et semblablement disposées.

Soient ( fig . 377) les pyramides SABC, S'A'B'C', dans lesquelles l’angle dièdre SA est égal à l’angle dièdre S'A', et les faces SAB, SAC, semblables aux faces S'A'B', S'A'C', et semblablement placées.

Portons la seconde pyramide sur la première, de manière qu’elles aient même sommet et que les faces homologues de leurs angles dièdres égaux coïncident. Le triangle S' A' B' étant semblable au triangle SAB et le point A' tombant en D sur SA, S'B' se confondra avec SB, et le point B' viendra en un point E tel, que DE soit parallèle à AB. De même le triangle S'A'C', étant semblable au triangle SAC, S'C' se confondra avec SC,