LIVRE VI

LES POLYÈDUES .

et le point C' viendra en un point F tel, que DF soit parallèle à AC. La base A' B 'C' occupera donc alors la position DEF, et

Fi!T. 377.

son plan sera parallèle au plan de la base ABC (506). La pyramide SDEF étant semblable à la pyramide SABC (678), il en est de même de la pyramide S' A' B' C' qu’elle représente.

THÉORÈME

680. Deux poly èdres , composés d’un même nombre de tétraèdres semblables chacun à chacun et semblablement disposés , sont semblables.

Fig. 878.

Soient [fig. 378) OABD, OBCD, OCDE, ..., O'A'B'D', O'B'C'D', O'C'D'E', ... deux séries de tétraèdres respectivement semblables et semblablement disposés; le polyèdre formé par les premiers tétraèdres est semblable au polyèdre formé par les seconds.

En effet :

i° Les faces homologues des deux polyèdres sont semblables

IOO

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

comme composées d’un môme nombre de triangles semblables et semblablement disposés. Considérons, par exemple, la face ABCD du premier polyèdre. Les triangles ABD, BCD, qui la constituent, sont semblables aux triangles A'B'D', B'C'D', comme faces homologues de tétraèdres semblables. De plus, les triangles ABD, BCD étant dans un même plan, les angles dièdres OBDÀ, OBDC des deux tétraèdres OABD, OBCD sont supplémentaires; il en est donc de même des angles dièdres homologues O' B' D'A', O'B'D'C', des tétraèdres semblables O' A'B'D', O'B'C'D'. Par suite, les deux triangles A'B'D', B'C'D' sont aussi dans le même pian, et constituent sur le second polyèdre une face A' B' C'D' semblable à la face ABCD.

20 Les angles polyèdres des deux polyèdres sont égaux comme ayant tous leurs éléments égaux et semblablement disposés; car les faces homologues des deux polyèdres étant semblables et semblablement disposées, leurs angles polyèdres ont d’abord toutes leurs faces égales chacune à chacune et semblablement disposées. De plus, les angles dièdres homologues de ces angles polyèdres sont égaux, soit comme dièdres homologues de deux tétraèdres semblables, soit comme somme d’angles dièdres égaux. L’angle dièdre BCDE, par exemple, formé par les deux faces ABCD, CDE du premier polyèdre, est la somme des deux angles dièdres BCDO, ECDO, qui appartiennent aux deux tétraèdres OBCD, OCDE; et l’angle dièdre B' C'D' E', formé par les deux faces A'B' C'D', C'D'E' du second polyèdre, est la somme des deux angles dièdres homologues B'C'D'O', E'C'D'O', qui appartiennent aux deux tétraèdres semblables O'B'C'D', O' C'D'E'.

681. Réciproquement, deux polyèdres semblables peuvent être décomposés en un même nombre de tétraèdres semblables et semblablement disposés.

Soit [fig- 379) un point O pris dans l’intérieur du premier polyèdre ; décomposons-le en tétraèdres en prenant le point O pour centre de décomposition (646), et soit OABC l’un des tétraèdres obtenus. Les points A, B, C, ayant pour homologues sur le second polyèdre les points A', B', C', menons un plan O'A'B' faisant au-dessus de A'B'C' un angle dièdre