VII. - APPENDICE

propriétés générales des polyèdres.

THÉORÈME

688. Dans tout polyèdre convexe , le nombre des arêtes augmenté de i est égal au nombre des faces augmenté de celui des sommets. Soient A le nombre des arêtes, F celui des faces, et S celui des som-

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GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

mets du polyèdre; il faut démontrer l’égalité

Considérons d’abord une figure plane formée de polygones convexes juxtaposés sans laisser de vides, et désignons par F', S', A' le nombre des polygones, celui des sommets et celui des côtés. Décomposons ces polygones en triangles à l’aide de diagonales menées, dans chacun d’eux, d’un sommet aux sommets non voisins, d étant le nombre total des diagonales, F' -+- d sera le nombre total des triangles, A' -h d le nombre total des côtés; le nombre S' des sommets sera resté le môme. Supposons maintenant que l’on enlève successivement les différents triangles sauf un, en commençant par ceux qui reposent sur le bord et en continuant par ceux dont un ou deux côtés auront été amenés, par les suppressions déjà faites, à faire partie du contour extérieur. Soit t' le nombre des triangles qui, au moment où on les enlève, ont un côté sur le bord, et t" celui des triangles qui en ont deux. La suppression d’un triangle du premier genre détruira seulement un côté et celle d’un triangle du second genre détruira deux côtés et un sommet.

Par suite, quand on aura enlevé tous les triangles, sauf un, le nombre des triangles détruits étant t' - f- t", celui des côtés détruits sera t' -t- if et celui des sommets supprimés sera t" . Donc, comme le nombre des triangles restants est alors égal à i et que celui des côtés restants, aussi

bien que celui des sommets restants, est égal à 3, on aura

F' 4- d — {t'-+-t")— i , A' 4- d — (Y -t- it") — 3, S ' — 3

d’où

Ce lemme établi, revenons au polyèdre convexe. Si on supprime l’une des faces, les faces restantes, dont le nombre sera F — i, pourront être considérées comme formant une suite de polygones convexes juxtaposés et renfermés dans le contour de la face supprimée, et nous pourrons raisonner sur ce réseau comme s’il était plan, puisque le théorème ne dépend que des nombres des polygones, des sommets et des arêtes. La relation (a) doit donc être satisfaite parles valeurs

on tombe ainsi sur la relation (i), qui est due à Euler ( Mémoires de Pétersbourg, 1 7 58 ) ( 1 ) .