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nales, .... Chaque arête étant commune à deux faces, on aura évidemment

Soient T,Q,P, H, H', O, . . . les nombres d’angles trièdres, tétraèdres, pentaèdres, hexaèdres, . . . du polyèdre proposé ; chaque arête unissant deux sommets, on aura de même

(5) 2A = 3T-+-4QH-5P-h6H-f-7H'-+-8 0-i- ....

D’après l égalité (3), le nombre des faces dont le nombre des côtés est impair ( c’est-à-dire le nombre ?+/?+//+ . . . ) est toujours pair ; d’après l égalité (5), le nombre des angles polyèdres ou des sommets dont le nombre des arêtes est impair (c’est-à-dire le nombre T -f- P -h H' -h . . .) est toujours pair.

690. On peut exprimer F en fonction de T, Q, P, H, H', O, ... ; il suffit d’éliminer S et A entre les relations (1), (4) et (5). On trouve

(6) sF= 4 + t k2Q 3P+ 4H -+-5H' +60-4- ....

De même, on peut exprimer S en fonction de ?, <7 ,/>, /y h', o, . . . ; il suffit d’éliminer F et A entre les relations (1), (2) et (3). On trouve

(7) 2S = 4 -±- 1 -i- 2. c/ 3 p -h ^ h 5 lé -t- 6 o -4- . . . .

Scoi.IE.

691. Si l’on conçoit la surface cl’un polyèdre convexe décomposé en plusieurs portions , chaque portion étant une face seule ou le système de plusieurs faces voisines, le théorème cl’ Euler a encore lieu entre le nombre des portions dont il s’agit, le nombre des arêtes qui servent de limites à ces mêmes portions , et le nombre des sommets compris entre ces arêtes.

En effet, que les droites qui terminent chaque portion soient ou non dans un même plan, les nombres considérés ne varient pas. Or, dans la première hypothèse, sans rien changer à ces mêmes nombres, on pourrait former un nouveau polyèdre en substituant à chaque portion une face plane terminée au même contour, et le théorème d’Euler serait applicable à ce polyèdre.

Toutes les formules que nous venons d’établir subsistent dans ce cas ; seulement, t est alors le nombre des portions de la surface, terminées par un contour triangulaire; <7, p, . . . les nombres des portions dont le contour est quadrangulaire, pentagonal, etc.

GÉOMÉTRIE DANS l’eSTACE.

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THÉORÈME. j|

692. Dans tout polyèdre convexe, le nombre des faces triangulaires , augmenté de celui des angles trièclres, est au moins égal à huit .

En effet, si dans la relation (i), qu’on peut écrire

on remplacer par la valeur (2 ), S par la valeur (4), et 4 A par la somme des valeurs (3) et (5), on trouve

D’3près cela, il n existe aucun polyèdre convexe qui ne renferme ni face triangulaire, ni angle trièdre.

THÉORÈME

693. i° Il n existe aucun polyèdre convexe dont toutes les faces aient plus de cinq côtés ; 20 il n existe aucun polyèdre convexe dont tous les angles polyèdres aient plus de cinq arêtes.

En effet :

i° Si, dans l’inégalité aA> 3 S, qui résulte de la comparaison des relations (4) et (5), on remplace A et S parles valeurs (3) et (7), on trouve la formule

3 ; H- iq H- p^> 1 2 -+- ( h' -+- 2 o — f- ...),

qui prouve que t , q et p ne peuvent être nuis à la fois.

20 Si, dans l’inégalité 2 A > 3F, qui résulte de la comparaison des relations (2) et (3), on remplace A et F parles valeurs ( 5 ) et (6), on trouve la formule

3T + aQ + P>i2 + (H' + 20+...),

qui prouve que T, Q et P ne peuvent, être nuis à la fois.

Scolie.

694. La symétrie de la formule d’Euler par rapport aux nombres F et S et la similitude des équations (2) et (4), (3) et (5) entraînent dans les relations qu’on peut en déduire une corrélation que le lecteur a sans doute déjà remarquée.

THÉORÈME

693. Il ne peut exister que cinq espèces de polyèdres convexes dont toutes les faces aient le même nombre n de côtés et dont tous les angles polyèdres aient le même nombre m d’arêtes.

LES POLYÈDRES