LIVRE VI

LES POLYÈDRES

n", p", r", g" les longueurs des mômes parallèles prolongées jusqu’au plan de la base A"B"C"D"E". v, n, p étant les côtés AB, BG, CD, DE, EA de la section droite, on aura, par la formule (3),

( A H- y. • f- v -f- t. -+- p) g' = \l' -h pim1 -t- v n' -f- 7 r// -4- o /•', ( 7 -h p h- v 7r -h p ) g” = 1 l" -+-11.171" -t- v n" -t- Tcp" -+- pr",

d’où, en retranchant,

Le second membre représente évidemment la somme-des aires des faces latérales du tronc de prisme ; il doit donc en être de même du premier. Or, ce premier membre est le produit du périmètre 1+ v 4- 77 p de la section droite, parla portion g" — g' de la parallèle aux arêtes du prisme menée par G et comprise entre les plans A'B'G'D'E' et A"B"C"D"E".

THÉORÈME

720. Les centres de gravité des aii'es de toutes les sections planes d'un prisme sont situés sur une même parallèle aux arêtes de ce prisme.

Le théorème est évident pour le prisme triangulaire, car, lorsqu’on projette obliquement ou orthogonalement un triangle surunplan, chaque médiane du triangle primitif a pour projection une médiane du nouveau triangle.

Considérons actuellement un prisme quelconque ; soit ABCDE [fi g. 892) sa section droite, qu’on a décomposée en triangles en joignant aux divers sommets un point quelconque O de son plan ; soit P le plan d’une section quelconque incliné d’un angle a sur le plan de la section droite. Conservons toutes les notations du n° 716, et désignons par A', B', C', D', E',0', G'jG'pG'jjG'jjG'^G'j les points où les arêtes du prisme et les parallèles à ces arêtes menées par les points O, G, G,, G2, G3, G4, G5 rencontrent le plan P. G étant le centre de gravité de la section droite, on a

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. SI ' b 2

ir suite, en multipliant par cos a,

7 cos a . g = 7, COS a . g{ -H 7 2 cos a . g2

-+- ’h cos a -g* -T- 74 cos * • 8i 7.5 cos a..gh.

Mais les points G',, G'2, G'3, G'4, G'a sont, d’après le premier alinéa, les centres de gravité des triangles O'A'B', O'B'C/, Ü'C'D', O'D'E', O'E'A', dont se compose la section par le plan P, et 7, cos a, 72cosa, 7. cos a,

GÉOMÉTRIE DANS L’ESrACE.

ytcosa, y5 cos a sont (706) les aires de ces triangles prises avec le signe nou le signe — , suivant que ces triangles sont additifs ou soustractifs. ! Donc la dernière relation exprime que le point G est le centre de gravité de la section oblique.

721. Le théorème correspondant sur les centres de gravité des périmètres des diverses sections planes d’un prisme n’est pas vrai. Les centres des périmètres des sections faites par une série de plans parallèles sont bien situés sur une môme droite parallèle aux arêtes, mais cette droite se déplace lorsque l'inclinaison de la série des plans parallèles vient à changer.

THÉORÈME

722. Le volume d’un tronc de prisme quelconque est égal au produit de V aire de la section droite par la distance des centres de gravité des deux bases.

Dans le cas où la section droite est l’une des deux bases du tronc, le théorème résulte immédiatement de ce qui a été dit aux nos 716 et 720. En effet, on a vu au n° 716 qu’en désignant par Y le volume d’un pareil tronc, par 7 l’aire de la section droite, et par g la parallèle aux arêtes du prisme menée par le centre de gravité de cette section droite jusqu’à l’autre base, on avait Y = g. 7, et l’on sait, d’après le n° 720, que cette droite g- réunit les centres de gravité des deux bases.

Considérons actuellement un prisme dont les arêtes soient obliques sur les bases A'B'C'D'E' et A"B"C"D"E" ( fig . 3y5). Désignons par V son volume, menons une section droite ABCDE au-dessus des deux bases, et appelons S, V', V" l’aire de cette section et les volumes des deux troncs compris entre celte section et chacune des deux bases primitives. Si l’on observe que les centres de gravité G, G', G" de la section droite et des deux bases sont sur une même parallèle aux arêtes, on a