LIVRE VT

LES POLYÈDRES

Or, les points A et B peuvent être à leur tour remplacés par le point I, ayant 2 AI -+-KC pour coefficient, et les points D et C par le point K, ayant 2KC-1-AI pour coefficient. Le centre de gravité G du trapèze, étant le centre des distances proportionnelles de ces deux points I et K, s’obtiendra en divisant IK en deux parties telles que

GI 2KC+AI DC -h AI

GK ~ 2 AI h- KG- AB -h KG*

Par suite, si Ton prolonge BA d’une longueur AE égale à DC, et DC d’une longueur CF égale à AB, la droite EF coupera IK au point demandé G.

718. Pour déterminer les centres de gravité des volumes, on suit une marche entièrement analogue à celle qu’on vient d’exposer.

Après avoir défini le centre de gravité d’un tétraèdre comme étant le centre des moyennes distances de ses sommets, on définira le centre de gravité d’un polyèdre quelconque comme étant le centre des distances proportionnelles des centres de gravité des tétraèdres additifs ou soustractifs qu’on obtient en joignant à tous les sommets du polyèdre un point O pris à volonté dans l’espace ; ces centres de gravité doivent être d’ailleurs affectés chacun d’un coefficient proportionnel au volume du tétraèdre correspondant. On démontrera, par un raisonnement semblable à celui du n° 716, que la position du centre de gravité ainsi défini ne dépend pas de la position du point O.

Nous laissons au lecteur le soin de développer ce sujet et d’en faire des applications. Les problèmes de ce genre ont leur véritable place dans la Statique, où l’on aperçoit mieux leur utilité. Les centres de gravité ne jouent qu’un rôle fort restreint en Géométrie pure, où ils interviennent cependant d’une manière intéressante pour l’évaluation de quelques aires et de certains volumes, comme nous allons le voir immédiatement pour le tronc de prisme quelconque, et comme nous le montrerons plus tard à la suite de l’étude des corps ronds.

Fig. 394.

Nous nous arrêterons néanmoins un instant sur le centre de gravité du

GÉOMÉTRIE DATNS L* ESPACE.

tétraèdre. En remplaçant {fi g. 394) ies deux sommets A et B par leur milieu I affecté du coefficient 2 et, de même, les sommets G et D parleur ! milieu K affecté du coefficient 2, on voit que le centre de gravité G du 1 tétraèdre est au milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes 1 opposées AB et CD.

Si, procédant autrement, on remplace les trois points B, C, D par le \ centre de gravité O du triangle BCD, affecté du coefficient 3, on voit que : le centre de gravité G est sur la droite AO en un point tel, que

GO 1 , , pn AO

Tri = — o’ cest-a-dire GO = — - •

uA 3 4

En réunissant ces deux résultats, on a la proposition suivante : Dans tout tétraèdre , les trois droites qui joignent les milieux de chaque couple d,' arêtes opposées, et les quatre droites qui joignent chaque sommet au point de rencontre des médianes de la face opposée, passent par un même j point ; ce point est situé eut milieu des trois premières droites, et pour | chacune des quatre autres il est aux trois quarts de sa longueur comptée à partir du sommet correspondant.

THÉORÈME

719. U aire latérale cl’un tronc de prisme quelconque est égale au produit du périmètre de la section droite par la portion de la parallèle aux arêtes du prisme, menée par le centre de gravité du contour de la section droite et comprise entre les deux hases du tronc ( fig . 395.)

Fig. 3q5.

Soient A'B'C'D'E' A"B"C"D"E" le tronc de prisme, et ABCDE une section droite située, par exemple, au-dessus des deux bases. Par les milieux L, M, N, P, R des côtés de la section droite, et par le centre de gravité G du contour de cette section, concevons des parallèles aux arêtes du prisme, et appelons respectivement m', n', //, /•', g' les longueurs do ces parallèles prolongées jusqu’au plan de la base A'B'C'D'E', et l'j m",