Dans un même cercle ou dans des cercles égaux

i° Deux cordes égales sont également éloignées du centre;

2° De deux cordes inégales, la plus petite est la plus éloignée du centre {Jig. 70).

i° Soient les deux cordes égales AB, CD, et soient OE, OF, les perpendiculaires menées du centre O sur chacune d’elles. Les longueurs de ces perpendiculaires mesurent les distances du centre à ces deux cordes, et il s’agit de démontrer que ces distances sont égales. Or les triangles rectangles EOB,

GÉOMÉTRIE PLANE

COF, sont égaux comme ayant l’hypoténuse égale et un côté égal, savoir : OB — OC comme rayons d’un même cercle, et EB = CF comme moitiés de cordes égales, puisque les pieds E et F des perpendiculaires OE et OF sont (102) les milieux des cordes AB et CD. Donc OE, troisième côté du triangle OEB, est égal à OF, troisième côté du triangle OCF.

Fijj. 70.

2° Soient les deux cordes inégales AG et CD. On suppose AG moindre que CD, et il faut démontrer que la perpendiculaire OH, menée du centre sur la première corde, est plus grande que la perpendiculaire OF. Par le point A menons une corde AB égale à CD. La distance OE du centre à cette corde sera égale à OF, et il reste à démontrer que OE est moindre que OH. Or, la corde AG étant moindre que la corde AB, l’arc AG est inférieur à l’arc AB, et, par suite, le centre O du cercle et le milieu H de la corde AG sont situés de part et d’autre de la droite AB. Donc AB rencontre OH en un point I situé entre O et H, et Fon a OI<COH. Mais, puisque OE est perpendiculaire sur AB, 01 est oblique, et l’on a

OE < Oï :

donc, à fortiori ,