LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 5t

au point I en deux parties égales. Dès lors, AB étant perpendiculaire sur le milieu de CD, tout point de AB, et en particulier le point B, est équidistant des points C et D. Les cordes BC et BD sont donc égales, et, par suite, les arcs BC et BD sont aussi égaux. En d’autres termes, l’arc CBD est divisé au point B en deux parties égales. On démontrerait de même que l’arc CAD est aussi divisé en deux parties égales au point A

Corollaires.

103. La droite AB satisfait, d’après cela, aux cinq conditions suivantes : elle passe par le centre O, par le milieu I de la corde CD, et par les milieux A et B de chacun des arcs que cette corde sous-tend ; elle est enfin perpendiculaire sur la corde CD. Or, deux de ces cinq conditions suffisent pour déterminer la droite AB ; car on sait que, par deux points, on ne peut mener qu’une droite, et que par un point on ne peut mener qu’une perpendiculaire sur une droite. Donc, toute ligne droite assujettie à deux des cinq conditions énoncées remplira nécessairement les trois autres. De là une série de propositions que le lecteur énoncera sans difficulté, et parmi lesquelles nous ne citerons que les suivantes :

La perpendiculaire élevée sur le milieu d’une corde passe par le centre et par le milieu de chacun des arcs que cette corde sous-tend.

Zc lieu géométrique des milieux d’un système de cordes parallèles est le diamètre perpendiculaire à la direction commune de ces cordes.

THÉORÈME