LIVRE VII

LES CORPS RONES.

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790. Lorsque deux sphères n’ont qu’un point commun, on dit qu’elles sont tangentes en ce point, qu’on nomme point de contact ; le point de contact est situé sur la ligne des centres, et en ce point les sphères ont le même plan tangent (120).

Fi£. é 27.

Les positions relatives de deux sphères sont au nombre de cinq (122), et les relations correspondantes entre la distance des centres et les rayons sont celles qui ont lieu pour les circonférences de grand cercle déterminées dans les sphères données par un plan quelconque passant par la droite des centres.

THÉORÈME

791 . Par quatre points À, B, G, D, non situés dans un même plan, on peut faire passer une surface sphérique , mais une seule (fi g. 428).

Fig. 428.

il s’agit de prouver qu’il existe un point, et un seul, situé à la même distance des quatre points À, B, C, D.

Or, tout point équidistant de A, B,C,D doit se trouver sur la perpendiculaire FH élevée au plan ABC par le centre F du cercle circonscrit au triangle ABC, puisque cette perpendiculaire est le lieu des points équidistants de A, B, G (524); il doit aussi appartenir à la perpendiculaireEG élevée au plan ACD par le centre E du cercle circonscrit au triangle ACD. Comme

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

IÜ b

deux droites FII, EG ne peuvent avoir qu’un point commun, on voit d’abord qu’il ne saurait jamais exister qu’un seul point équidistant de A, B, C, D. En second lieu, un tel point existe toujours si, conformément à l’hypothèse, les points A, B, C,D ne sont pas situés dans un même plan. En effet, le plan perpendiculaire sur le milieu K de AC, étant le lieu des points équidistants de A et de C, doit contenir EG et Fil ; d’ailleurs, les deux droites KF et KE, suivant lesquelles il rencontre les plans ABC et ADC, se coupent, puisque les plans ABC et ADC sont distincts; donc les deux droites EG et FII, étant situées dans un meme plan EKF, et étant, dans ce plan, perpendiculaires à deux droites KF et KE qui se coupent, ont un point commun O qui est le centre de la sphère demandée.

Corollaires.

792. Deux sphères, qui ont quatre points communs non situés dans un même plan, coïncident.

793. Les perpendiculaires élevées aux quatre faces d’un tétraèdre par le centre du cercle circonscrit à chacune de ces faces se coupent en un même point.