LIVRE VII

LES CORPS RONDS

tangent à la sphère est perpendiculaire à l’extrémité du ray on OC mené au point de contact C [fig. 4^5).

Fig. t\ 25.

On dit qu’un plan ÀCB est tangent à la sphère lorsqu’il n’a avec cette surface qu’un point commun C, qu’on nomme point de contact.

Cela posé, soit ÀCB un plan perpendiculaire à l’extrémité d’un rayon OC. D étant un point quelconque de ce plan, autre que C, OD est oblique à ce plan, et l’on a OJ)>>OC, de sorte que le point D est extérieur à la sphère. Le plan ACB, n’ayant d’après cela que le point C commun avec la surface sphérique, est tangent à cette surface.

Inversement, si ACB est un plan tangent à la sphère au point C, tout point D de ce plan, autre que C, est extérieur à la sphère, et l’on a 01)>>0C; donc OC, étant la plus courte distance du centre O au plan ACB, est perpendiculaire sur ce plan.

Corollaires.

786. Par un point pris sur la surface sphérique, on peut toujours mener un plan tangent à cette surface , et Von ne peut en mener qu’un (516).

787. Le plan tangent à la sphère en un point C contient les tangentes en ce point à toutes les courbes qu’on peut tracer par ce point sur la surface sphérique (772, 521).

788. Considérons une sphère O et un point extérieur S [fig. 426). Par la droite OS, menons un plan quelconque qui déterminera dans la sphère un grand cercle PAP', et menons par S une tangente SA à ce cercle. Pendant que le demi-cercle PAP', en tournant autour de l’axe SO, engendre la sphère, la

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

tangente SA engendre an cône de révolution qui a en commun avec la sphère le cercle AB décrit par le point A. De

plus, en tout point M de ce cercle, le cône et la sphère ont le même plan tangent; car la génératrice SM et la tangente MT au cercle AB, qui déterminent le plan tangent au cône (750), sont situées l’une et l’autre (787) dans le plan tangent à la sphère. On dit d’après cela que le cône est circonscrit à la sphère et que la sphère est inscrite au cône le long du cercle commun AB.

On voit encore par là que, par un point extérieur S, on peut mener une infinité de plans tangents à une sphère O, et que toutes les tangentes SA, SM, SB,... à la sphère , issues du même point S, sont égales.

Si le point S s’éloigne indéfiniment sur la droite PP', le cône dégénère en un cylindre circonscrit, et le lieu des points de contact de la sphère et de ce cylindre de révolution devient le grand cercle perpendiculaire à la direction PP' des génératrices du cylindre.

THÉORÈME

789. V intersection de deux sphères A et B est une circonférence de cercle dont le plan est perpendiculaire à la ligne des centres AB des deux sphères et dont le centre est sur cette ligne (fi g. 42.7).

Car cette intersection n’est autre que la circonférence engendrée par la rotation autour de AB du point C commun aux deux circonférences suivant lesquelles les deux sphères sont coupées par un plan quelconque passant par AB,