LIVRE VII

LES CORPS RONDS

met P comme pôle et compris entre ses côtés , soit le pins petit arc de grand cercle pp{, qui unit les pôles de ses côtés

Lfig- 4^-9)-

En effet :

i° Les arcs FA, PB étant des quadrants, les angles POA, POB sont droits, et l’angle ÀOB est l’angle plan qui mesure l’angle dièdre formé par les plans des deux grands cercles. Mais (794-) cet angle dièdre est égal h l’angle APB des deux arcs de grands cercles, et l’angle au centre AOB a pour mesure l’arc AB; donc l’arc AB est aussi lamesurede l’angle APB.

20 Prenons sur la circonférence ABC, à partir des points A et B, dans le même sens, deux arcs A p et B/?,, égaux à un quadrant; l’arc ppt est évidemment égal à l’arc AB, et, pour justifier le second énoncé du théorème, il suffit de prouver que p et p , sont les pôles des cercles PAP', PBP'. Or, la droite O p, perpendiculaire à OA, puisque l’arc Àp est un quadrant.

Fi-. /,'29.

et perpendiculaire à OP, puisqu’elle est dans le plan ABC, est perpendiculaire au plan du grand cercle PAP' ; p est donc le pôle de ce grand cercle. De même, px est le pôle du grand cercle PBP'.

Nous avons dit que nous portions les arcs Ap et B px dans le même sens, à partir de leurs origines respectives A et B; si on les portait l’un dans un sens et l’autre en sens contraire, l’arc ppx serait le supplément de l’angle des deux grands cercles. Il y a donc une précaution à prendre dans l’application du second énoncé. Il faut considérer, pour l’un des grands cercles PAP', le pôle p qui est du même côté que le demicercle PBP' et, pour l’autre grand cercle PBP', le pôle px qui n’est pas du même côté que le demi-cercle PAP'.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

Corollaires.

796. Le lieu géométrique des pôles des grands cercles inclinés d’un angle donné sur un grand cercle donné se compose de deux cercles dont les pôles se confondent avec ceux du grand cercle donné. Le rayon sphérique de ces cercles est égal à l’arc de grand cercle qui mesure l’angle donné.

797. Pour que deux grands cercles se coupent à angle droit, il faut et il suffit que chacun d’eux renferme le pôle de l’autre.

798. Deux grands cercles APC, BPD (fig. 429) forment en se coupant au point P quatre angles APB, BPC, CPD, DPA ; les angles adjacents APB, BPC sont supplémentaires, les angles opposés par le sommet APB, CPD sont égaux.

DÉFINITIONS